Pour déduire de la formule

\1 — ny a'^r

-f- Sa^nr' — San^r — n^r

celle du rayon de courbure d'une conjuguée quelconque C en un quelconque de ses points [x, y], les axes étant d'ailleurs quelconques, il n'y aura qu'à substituer h x et h a leurs valeurs qu'il sera facile d'obtenir de la manière suivante.

En premier lieu, n\ — i est la racine moindre que 1, en valeur absolue, de l'équation qui donne la tangente de la partie imaginaire

'I' V — 1 de l'angle avec l'axe des x du faisceau des tangentes à la courbe au point [x, y].

Ainsi, si au point [x, y\

du ,

on tirera n de l'équation connue

w,ïï* (w« -f n* + i) « + «1 = 0, qui donne

i\-\- ni -j- ^±^/(:ml-\-nl + ly -An\.

on prendra donc pour n la valeur

m\ + nl-{-l-y,'{m\+n\ + iY-An\

:Jrj.

puisque c'est la plus petite.

Quant à a, c'est la tangente de l'angle que la tangente à la conjuguée fait avec le grand axe du faisceau des tangentes à la courbe au point [x, y].

Or la tangente à la conjuguée a pour coefficient angulaire

tang Y = m, -f /î, 4- -

d'un autre côté, la tangente de l'angle <p que le grand axe du faisceau des tangentes à la courbe, au point [x, y], fait avec l'axe des x serait donnée par l'équation

m^ tang'<p — (m* + «f — 1) tang cp — m^ = 0 ;

mais on ne devrait prendre que celle des racines de cette équation qui

• • X , tang^J — { conjomtement avec n ou — " ' satisferait à l'une des conditions