V-1 renfermées dans
tang (p-f- tang 'iv — 4
i — tang o tang <]* \/ — 4
par exemple à la condition
tang f = m^ — n^ y— i tang cp tang (4* y — l) = m, -{- nn^ tang f. Il vaudra donc mieux poser tout de suite
tang (f =
nn.
Les angles y et cp étant ainsi connus, la valeur de a s'en déduira par la formule
a = tang (y — ?).
Développées.
194. La théorie des développées des courbes imaginaires résulterait sans difficultés de ce qui précède, mais elle est trop étrangère au but final de cet ouvrage pour que je m'y arrête,
. Je me bornerai à signaler une relation remarquable entre les développées des deux enveloppes. On possède si peu de théorèmes généraux sur la théorie des courbes que je ne crois pas devoir passer celui-ci sous silence : La développée de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une courbe est l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée de cette courbe^ et réciproquement, puisque les deux enveloppes sont réciproques. En effet, le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe imaginaire en un quelconque de ses points étant réel, celui de la normale l'est aussi ; d'ailleurs x et y désignant les coordonnées d'un point de l'enveloppe, chacune des équations
et
^dxj
représente une seule droite, la première réellement tangente à l'enveloppe imaginaire et la seconde effectivement normale, de sorte que la développée de l'enveloppe imaginaire est l'enveloppe de la droite unique représentée par l'équation
mais, d'un autre côté, la développée de la courbe réelle étant l'enveloppe de la droite représentée par l'équation
\dùj)
lorsque x et y sont réels, il en résulte que, quel que soit le point du lieu dont X et y soient les coordonnées, le faisceau
"'Wf-'
est toujours tangent au lieu représenté par l'équation de la développée ; et enfin si le point [x, y] appartient à l'enveloppe imaginaire,
-p étant réel, la droite
ax
est effectivement tangente à l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la courbe qu'elle enveloppe, lorsqu'elle est réelle, c'est-à-dire "de la développée de la courbe réelle proposée.
On vérifie aisément cette proposition sur l'hyperbole et l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées.
En effet l'équation de la développée de l'hyperbole
est
et par conséquent celle de l'hyperbole
yL — — = 1 6* a"-
est
Les deux hyperboles sont chacune l'enveloppe imaginaire des conjuguées de l'autre et il doit en être de même de leurs développées. Or le coefficient angulaire
de la tangente à la développée de la première hyperbole est réelle aux points fournis par les valeurs de a? et de y qui ont la forme
mais ces points appartiennent à la développée de la seconde hyperbole.
De la courbure de l'enveloppe imaginaire.
19o. Les dérivées partielles du premier ordre de z par rapport à x
el h y, -j-*^^ -y- étant réelles en un point quelconque de l'enveloppe
imaginaire des conjuguées d'une surface, nous les désignerons, suivant l'usage, par p et q. Quant aux dérivées secondes,
rf*z (Pz (Pz
et
djc^ ' dx dy dy^
comme elles seront généralement imaginaires, nous les représenterons respectivement par
r -f- r' \f^\, s 4- s' \— i et t -{- 1' \/— 1 . La substitution simultanée de
x'-\-a-}- h V' ^, y + «' + à' V^ et z' -f- a" -f b" V^ h X, y et z dans une équation
fi^^y, s) = 0
n'altère en rien les dérivées de z par rapport à ar et à y, aux points représentés par les solutions correspondantes des deux équations; l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu
rapporté à certains plans coordonnés, coïncide donc avec l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu
/•(x-|-«+ô v/^, .y + o' + '/ V — T. z + a" -\-b" sPl)=0
/•apporté aux plans parallèles aux anciens plans coordonnés représentés dans l'ancien système par les équations
Ainsi nous pourrons supposer que le point considéré de l'enveloppe soit devenu l'origine des coordonnées.
Nous pourrons en outre supposer qu'on ait pris pour plan des xy le plan tangent réel à l'enveloppe, en ce pqint, et pour axe des z la normale réelle à cette même enveloppe au même point.
p eXq seront alors nuls.
Le z d'un point du lieu, infinimefnt voisin de l'origine, se tirerait de l'équation de ce lieu où l'on aurait fait
x = da.-\- d^\l—\ et y = cfa' + d^' \l^\ .
Si l'on veut que ce point appartienne à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, il faudra que
dp = ^ (d<x -\- d^ v/^) + j^ (doi' + d^' \/^l)
= (r^r' 4^i) {d<x + d^ V^) + (« + «' V^) (^«'+..4' V^^) et
rf^ = ^ {da 4- d^ V^) + T {dol + d^' sl'^i)
= (s-^s' sPl) [dt -f d^ sT^i) + (^ + ^' vCT) [dol -f d[i>' sl^\)
soient réels, c'est-à-dire que
rd^ -\- r'da + sd^' -f s'da! — 0 et
sd^ + s'doi -\- tdp' + tW = 0.
Si l'on suppose que da., rf(à, da et dp' satisfassent à ces deux conditions, le point
x = d<x-\-dp\l^, y = da -\- dp'sl~\, z = da" -^ d^" \f^\
appartiendra à l'enveloppe imaginaire des conjuguées. Ce point se trouvera sur celui des plans représentés par l'équation
dy! 4- d^ v/— ï y = ■ — ■ — -== X
rfa + c?p V— 1 dont les caractéristiques satisferaient à la condition
dix d'i' Pour que ce plan fût réel, il faudrait que :t- et -^ fussent égaux.
act. ap
Si l'on introduit cette condition et que m soit la valeur commune des deux rapports, les équations
doL = mdoi et d^' = mdp
jointes aux précédentes, donneront
(r -\-ms)dp-\- (r' + ms') </a = 0 et
(s + 7nt) d^ -f- (s' + mt') d<x = 0.
Ainsi le coefficient angulaire d'un plan réel, passant par Taxe des - et contenant un point de l'enveloppe imaginaire infiniment voisin de l'origine, serait racine de l'équation
r -\- ms r' -f- ms' s -\- mt s -f- ?tit' ou
{sf — ts) ?>i* -j- {rf — rt') m -\- {rs — sr) = 0.
Il n'y aura donc généralement que deux pareils plans, et encore pourront-ils manquer, lorsque l'équation précédente aura ses racines imaginaires.
Supposons que dx, d^, da et d^' soient simplement assujettis aux deux conditions
rd^ -\- r'dt -f sd'{! ■\- s'dv! = 0 et
sd^ -f s'rfa -f- td^' -f- (doî = 0,
d^ de sorte que — restera arbitraire : ces équations donnent uct
,^, {rt' — ss) d'^ -\- {r't — s'-) </a
^ ~ ti — sf
et
d'où
(s' — rt) d'p -\- {ss' — tr') d%
rfœ = ; ,
ts' — St '
rfa' + rfp' v/^ ^'' - ''') "^^ + ^''' - ^''"> "^'^ + ! ^'''' ~ '"'"'^ ''^ + ^'■''' ~ *'''^ ''* î V^-ï (/a + dp V^ ('«' — si') (rfa + dp v^^)
ss' — /r' + (s« r/) ^ + ! r7' — s'* + {rf — ss') ^ \ V^
'Toc f «Ot 1
Soit m -|- n y/ — 1 la valeur de ce rapport correspondant à une valeur k
de -7- , l'onglet de plans
contiendra un point de l'enveloppe imaginaire infiniment voisin de l'origine et ce point se trouvera d'ailleurs dans celui de ces plans dont les deux caractéristiques C et C satisferont à la condition
rt — ss -f- {rt' — s"')
drs.
t^ — st'
Cherchons le rayon de courbure de la section faite dans l'enveloppe imaginaire par le plan déterminé comme il vient d'être dit, parmi les plans composant l'onglet
Soit OC le cercle de courbure de cette section, rapporté à l'axe des z et à la trace Oa' du plan sécant sur le plan des xy ; soient d'ailleurs M un point de l'enveloppe infiniment voisin du point 0, OP et OQ ses coordonnées z et x', l'équation du cercle osculateur sera
d'où
Hz
0 Q iC'
Fig. 6. «^'
Celte dernière équation donne pour z = 0 et x'=()
ijPz\ .dxVo
l'équation du cercle est donc
d'où
OQ'
il ne reste qu'à calculer OP ou doi" -\- d^", d'une part, et OQ ou
(doL 4- d^y- -f {doi -\- d'^y- + %doL -f d^) (rfa -|- d'^') cos 6, 6 désignant l'angle yOx, s'il n"est pas droit.
Or d<x" et d'^" résulteraient de Téquation
d'un autre côté, d^' et rfa se tireraient des équations,
rd^ -\- r'doL + sd^' -f- sWa = 0 et
srf^ + sWa -f td^' + /Wa' = 0 ;
d% quant à -7-, qui reste arbitraire, il déterminerait, comme on l'a vu «a
plus haut, la direction du plan sécant normal.
Mais il convient, pour achever le calcul, d'en simplifier les éléments par un choix convenable du système des axes des x et des y, dans le plan tangent à l'origine.
L'équation
(;. |- r' v-T) ^^ + 2 (s + s' v/^) xy + (^ + ^' v'^) !/ = h
est celle de la section de la surface proposée par le plan z=^h. Cette section restera toujours la même quel que soit le système d'axes auquel elle soit rapportée, mais son équation pourra être simplifiée.
196. Si l'on suppose les axes primitifs rectangulaires, comme on veut conserver la môme origine, les formules de transformation seront
X =^ x' cos a + y' cos a'
et
y = x' sin 0L-\- y' sin a ;
si d'ailleurs on a divisé tous les termes de l'équation par (s -j- s' y — \), celte équation aura pris la forme
[a + o' V— î) y^ + 2xy 4- (c -f c vÇli) x- = h\
192 CHAPITRE XUI.
la substitution la changera en
{a+a'\j—l)sin^a' + 2 sin a' cos a' 4-(c+c'/T^)cos«a'
î/H-2(a+fl'V— Osinasina' a;y+(a+fl'V— î)sin'a
+2(c+c' V— l) cos a cos a' +2 sin a cos a' -\-1 sin a' cos a
+ 2 sin a cos a
+ (c+c' V— I )cos%
Pour faire disparaître le terme en xy il faudrait poser
a tang « tang a' -f- c -|- tang a -|- tang a' = 0
et d'où
et
a' tang a tang a -f e' = 0
tang a tang a' = ;
tang a -j- tang a =
ac
ca
ces équations donnent pour tang a et tang a' les valeurs
tang a ] tang a' j
ac
ca
' rt \/(«c' — cdf -f- 4a'c'
La transformation pourra se faire lorsque ces valeurs seront réelles et inégales, et dans ce cas l'équation pourra être réduite à la forme
(a + d sf^i) f~ +{c-\-c' \J^) x^ = h'
Si les valeurs qu'on vient de trouver pour tang a et tang a' étaient égales ou imaginaires, on ne pourrait plus faire disparaître le terme en xy; mais comme alors a' et c' seraient de signes contraires, on pourrait faire disparaître les parties imaginaires des coefficients de x'^ et de y^. Il suffirait en effet pour cela de poser
tang a tang a'
l'équation du lieu deviendrait alors
ay' 4- 2 (ô -f- b' \J— l) xy-\-cx''=h. t)ans le cas particulier oîi les valeurs de tang a et de tang a'
tang al ac' — ca' -f- \/{ac' — ca'f -\- Aa'c'
tang a ) 2ft'
DE LA COURBURE DES SURFACES lAUGINAIRES. 193
seraient égales, la transformation précédente ferait disparaître l'un des carrés et l'équation se réduirait à
2 (é -f *' V^^) xy + cx^ = h'.
'ficients de y- et de x-, réduits ]
a sin* a' -j- 2 sin a' cos a! -\- c cos^ a et
a sin^ a -}- 2 sin a cos a -|- cos^a,
En effet les coefficients de y- et de x-, réduits par cette transformation à
/ C prendraient, en y remplaçant tang a' par -\- \/ — -, ^^ tang a par
- , les valeurs
et
c'est-à-dire soit
CCI — ûc' 4- 2 V — û'c' cd — ac' — 2 \j — de -. — et ■ ,
a si a' était positif; soit
cd — ac' — 2 V — o!c' cd — oc' -}- 2 \l — de
- et ■ ,
si d était négatif.
L'une de ces quantités sera toujours nulle dès que l'on supposera
{ad — caj + 4a'c' = 0.
Ainsi on pourra toujours faire disparaître soit s et s', soit r et /', soit r et r.
197. Supposons d'abord qu'on ait pu réduire à zéro la dérivée
seconde de z par rapport à x- et à y, c'est-à-dire s -|- s' y — 1, les conditions pour que le point de la surface correspondant à
x = d(t-{- d^ v/— 1 et y = da -\- <5' v'— 1 appartienne à l'enveloppe imaginaire, deviendront
rd^ -f r'doc = 0
el
elles donneront
dct r d% t
quant à J^, qui restera arbitraire, nous le représenterons par K.
L'équation de l'onglet de plans mené par l'axe des z, qui contiendra le point correspondant h x^da.-\- d^\ — 1, et y = d(x' -{- d^'s/ — 1 sera
{ 1 / — 7\ da! -\- df,' \/— l
et K sera le rapport des caractéristiques G et G' de celui de ces plans qui contiendra le point en question.
Gela posé on aura
2c?a" = r (6?a^ — d^^) — 2r'daid^ -\- t {da'' — d^") — 2t'doi'di^'
et
2d^" = 2rdoLd^ + r' {du'- — d^p) + 'àtda.'d^^' + t' {doî' — dp)
d'où
2 {du" + ^n = ^^-^ '^^±^ {r - r') -\- dp !1±^ [t- 0;
d'un autre côté, OQ ou
{du -t- d{if + (^a + dP'- +2 (</a + <i) (rfa + d{i') cos 6 sera représenté par
le rayon de courbure cherché sera donc
198. Dans le cas qu'on vient d'examiner, les nouveaux plans des xz et des yz seront précisément les plans normaux réels capables de contenir un élément de l'enveloppe imaginaire. En effet s et s' ayant été réduits à zéro, l'équation propre à déterminer ces plans sera devenue
qui donne w = 0 et m= ce . Considérons l'un d'eux
y=0 par exemple, a' et fi' étant nuls, l'équation
td^' -f t'do^ — 0
sera satisfaite d'elle-même. Mais rfa et d^ devront toujours satisfaire à la condition
rd^ -f- rd% = 0 ;
2(</a" -f- d'fi") se réduira dans ce cas à
et 00^ à
r' + r'* d^'-^ir-r')
{da-\-d^y = d^^^'' ^^'
par conséquent le rayon de courbure sera
On trouverait de même pour le rayon de courbure de la section faite par le plan x =0
Ces formules ne sont qu'une conséquence de celle qu'on a trouvée au n° 175 pour le rayon de courbure de l'eijveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan. En effet le plan y = 0 par exemple étant réel, et le plan tangent à l'enveloppe imaginaire au point
= 0, x = d^{--'--^yJ-iy
ayant d'ailleurs ses coefficients angulaires réels, l'intersection de ces deux plans a aussi son coefficient angulaire réel, de sorte que le point
appartient ainsi que l'origine à l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la section faite dans la surface considérée par le plan ?/ = 0; mais l'expression analytique du rayon de courbure de cette section à l'origine serait
on devait donc trouver, pour le rayon de courbure de l'enveloppe des conjuguées de la section, à l'origine, ou pour le rayon de courbure de la section de l'enveloppe imaginaire, la valeur
Les mêmes plans réels dont il vient d'être question présentent une particularité remarquable : leurs traces sur le plan des xy sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de l'enveloppe, en sorte que les courbures, fournies par les expressions très-simples qu'on vient d'obtenir, des sections de l'enveloppe qu'ils contiennent, déterminent entièrement la courbure de cette enveloppe.
Il suffit pour cela de prouver que les nouveaux axes des x et des y sont deux tangentes conjuguées de l'enveloppe, ou que le plan tangent à l'enveloppe en un point de cette enveloppe situé à une distance infiniment petite de l'origine, dans le plan des xz par exemple, coupe le plan des xy suivant l'axe des y.
Or l'équation de ce plan tangent est
Z i (r+r' V^) (c?a-hrfp V'^)^ = O'-K V~) (c?a+o?fi V^) (X-rfa-rfp V^)r
dft et d^ étant d'ailleurs liés entre eux par la condition trouvée plus haut
{rd^ + rWa) = 0.
Mais ce plan, par suite même de cette condition, a ses coefficients angulaires réels et par conséquent son équation ne représente qu'un seul plan parallèle à
Z = (rrfa — r'd'^) X
c'est-à-dire parallèle à. l'axe des y.
Si l'on n'avait pu faire disparaître que r' et t' ou r et ^, des calculs analogues aux précédents feraient aisément connaître la courbure d'une section normale quelconque de l'enveloppe, mais comme il n'existerait plus de plans normaux réels pouvant contenir un élément de cette enveloppe, le dernier théorème qu'on vient d'établir n'aurait plus d'analogues ; ou du moins, pour en retrouver les analogues, il faudrait recourir à une transformation imaginaire de coordonnées qu'on peut juger
superflue, puisque la question peut être résolue d'autre manière et dont, en tout cas, la théorie ne serait pas ici à sa place.
De la courbure d'une conjuguée en un des points où elle touche
V enveloppe réelle.
199. Les conjuguées d'une surface réelle la touchent suivant les courbes de contact des cylindres circonscrits à cette surface parallèlement aux directions de leurs cordes réelles ; de sorte que chaque conjuguée contient une courbe tracée sur la surface réelle.
Le plan osculateur à cette courbe en l'un de ses points coupe la surface réelle et la conjuguée suivant deux courbes ayant même courbure au point considéré et, par suite, d'après le théorème de Meusnier, tout plan mené par la tangente à la courbe de contact des deux surfaces, et notamment le plan normal commun aux deux surfaces, mené par cette tangente, les coupe suivant deux courbes. ayant même courbure au point considéré.
D'un autre côté, tout plan réel mené par la corde réelle de la conjuguée qui passe au point considéré coupe les deux surfaces suivant deux courbes conjuguées l'une de l'autre et qui, d'après ce qu'on a vu au n° 179, ont leurs courbures égales et opposées. Les sections faites dans les deux surfaces par leur plan normal commun, mené par la corde réelle considérée, entre autres, ont leurs courbures égales et opposées.
Ainsi la surface réelle et sa conjuguée, en un quelconque des points de leur courbe de contact, fournissent, dans deux plans normaux différents, des sections de même courbure, de même sens dans l'un des deux et de sens contraires dans l'autre.
Mais il y a plus : les plans tangents communs aux deux surfaces en tous les points de leur courbe de contact étant parallèles aux cordes réelles de la conjuguée, l'intersection de deux de ces plans tangents, inGniment voisins, est la corde réelle de la conjuguée qui passe au point de contact de celui des deux qu'on considère comme fixe, c'est-à-dire que la corde réelle de la conjuguée qui passe par un des points de la courbe de contact et la tangente à cette courbe de contact au même point sont deux tangentes conjuguées soit de la surface réelle, soit de sa conjuguée, ou encore, sont deux diamètres conjugués communs aux indicatrices des deux surfaces au point considéré.
Les courbures des sections normales menées par ces diamètres conjugués communs étant d'ailleurs égales et de même sens dans l'une, égales et de sens contraires dans l'autre, il en résulte que les deux indicatrices sont deux coniques conjuguées, la direction des cordes réelles de l'indicatrice de la conjuguée coïncidant d'ailleurs avec celle des cordes réelles de cette conjuguée.
Toutes les conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles au plan tangent à une surface en un de ses points touchent cette surface en ce point : on conclut donc immédiatement du théorème précédent que les indicatrices des conjuguées d'une même surface qui la touchent en un même point sont les conjuguées de l'indicatrice de la surface réelle en ce même point, les cordes réelles de chaque indicatrice conjuguée étant d'ailleurs parallèles aux cordes réelles de la surface conjuguée correspondante.
De la courbure d'une conjuguée au point où elle touche l'enveloppe imaginaire.
200. Si l'on prend pour axe des z la parallèle aux cordes réelles de la conjuguée, qui passe par le point où elle touche l'enveloppe imaginaire et pour plan des xy le plan réel tangent en ce même point à l'enveloppe, l'équation de la surface sera
z-a{\-\l'^\) = \{r + r'\l~) x^ ^ (s + s'\~)xij+ (<+r V^) 2/^+ . • • •
D'ailleurs pour lui faire représenter la conjuguée, il ne faudra y donner hx &ik y que des valeurs réelles.
Si l'on changeait les directions des axes des x et des y dans le plan des xy, r, /•', s, /, t et t' varieraient en inême temps ; pour avoir leurs nouvelles valeurs il n'y aurait qu'à effectuer la transformation relativement au lieu
(^|/ y/Zl) ^^ ^ 2 (s-j-s sf^\) xy -^{t-\-t' V^) f = 0.
Cette transformation étant très-aisée à faire, il nous suffira, pour traiter des courbures à l'origine des sections faites dans la conjuguée par tous les plans menés par l'axe des z, de rechercher celle de la section par le plan des xz, qui est quelconque.
Le plan des xz coupe la conjuguée suivant la courbe fournie parles solutions réelles par rapport à x de l'équation
qu'il faut réduire à
dans les environs de l'origine. ,
Or la tangente à l'origine à cette courbe étant l'axe des x, c'est-à-dire
ayant son coefficient angulaire réel, ce point appartient à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu
de sorte que si R -|- R'\/ — 1 est la valeur de l'expression analytique du
Rî j R'â
rayon de courbure de l'enveloppe imaginaire, - — !— — ■ est le rayon de
courbure de la conjuguée.
On peut du reste le calculer directement : soit 9 l'angle de l'axe des z
avec l'axe des x, si l'on prend pour nouvel axe des :; la perpendicula,ire
à l'axe des x, les formules de transformation seront
X = x' — cotang G z et
sinô
L'équation de la section du lieu par le plan des xz, qui sera d'ailleurs restée la même qu'avant, sera donc, dans les environs de l'origine
^ z' = fl (l - y/-^) + ^ (r + r s/^) {x - cotang 6 zj ;
cette équation donne 1 dz
sli^ ^ = ^' + '■' V- ^) (^' - ^«tang e .') (l - cotang 0 ^£j
1 dîz' sini)
d^'' I I « / dz' \* , . <flz'
j^^ = (r + r' \l—\) \ 1 — cotang 9 ^ j — cotang t [r + r' V^-T) {x' — cotang 9 z') j-^ .
Cette dernière équation, en y faisant x = 0, z = a(l — J — i) sin ô dz' ^ et -7-7 = 0, devient
iiïïê ê = ('■ + '•' ^=^ + (-■ + >■' ^^ ^tang^O . a (l - V^ g,
d'oii
^^ (r + r y/UTl'sin^e
^•^'' sin 0 — « (l — v/^) (/■ -I- r' v/^) cos^ 6 '
l'expression analytique du rayon de courbure est donc
sin 0 — (r -|- /•' \J— l) a cos^ô (l — V— ^)
ou
r -f- 7-' sf^i sin 0 „ / , X
ou encore
sinô (?• — r' sj — 4) „ / / x
le .rayon de courbure réel de l'enveloppe est par suite
/ r sin 6 ^ \ / r' sin 6 \
et celui de la section de la conjuguée est en conséquence /rsine ' V , /r'sin6 V
(r -|- r) sin 6
De la courbure d'une conjuguée en un quelconque de ses points.
201. Si l'on coupe la conjuguée par des plans parallèles à ses cordes réelles, passant par le point eonsidéré, on obtiendra le rayon de courbure de chacune des sections à l'aide de la formule du n° 190; on en conclura ensuite, par le théorème de Meusnier, le rayon de courbure de la section normale faite dans la conjuguée par le plan passant par la même tangente à cette surface. On aura ainsi tous les éléments de la courbure de la conjuguée au point considéré.
POINTS REMARQUABLES OU SmGCLIBRS DES COURBES PLANES
Points maximums ou minimums.
202. Les points maximums ou minimums d'une courbe, c'est-à-dire les points où l'ordonnée est maximum ou minimum, sont compris
parmi ceux où -^ esl nul, puisque la tangente y est parallèle à l'axe
des X. On les trouvera donc en résolvant le système des deux équations
f{x,y) = 0 et f'^{x,y) = 0.
Si la première de ces deux équations est de degré m, la seconde sera généralement de degré m — 1, de sorte que le nombre de leurs solutions communes sera m {m — 1). C'est le nombre maximum des tangentes qu'on puisse mener à une courbe de degré m parallèlement à une droite donnée.
Mais les deux équations
nx,y) = 0 et f'. = 0
peuvent fournir plusieurs sortes de points distincts des points maximums ou minimums proprement dits.
En premier lieu ces deux équations peuvent admettre quelques solutions finies par rapport à ?/ et infinies par rapport kx. C'est le cas où la courbe a des asymptotes parallèles à l'axe des x, ou plutôt des asymptotes dont le coefficient angulaire soit nul, car ces asymptotes peuvent aussi bien appartenir à l'enveloppe imaginaire des conjuguées qu'à la courbe réelle. Les points situés à l'infini sur les branches de la courbe réelle qui ont leurs asymptotes parallèles à l'axe des x se distinguent des points maximums ou minimums proprement dits, en ce que si l'on considère en même temps les deux branches de la courbe qui, généralement, touchent l'asymptote à l'infini dans les deux sens et de côtés opposés, l'ordonnée reste croissante ou décroissante de part et d'autre de la valeur correspondante de x, ou plutôt de son inverse.
En second lieu, les équations f {x, y) =0 et f'x (x, y) = 0 peuvent admettre des solutions qui conviennent aussi à l'équation f'y {x, y) z=0, La dérivée de y par rapport à x, aux points correspondants, est indéterminée et ces points appartiennent à une catégorie particulière.
Enfin il peut encore se faire qu'en quelques points correspondant aux solutions des équations f{x, ?/) = Oet f'x = 0, la première dérivée de ij par rapport à a? ne change pas de signe, ce qui arrivera généralement lorsque ~ s'annulera en même temps que —, parce qu'alors
0 sera une valeur maximum ou minimum de -j-. Dans ce cas le point obtenu sera un point dlnflexion.
205. Quant aux solutions finies des équations /"(x, y) = 0, f'x = 0 qui ne rentrent pas dans les cas d'exception qui viennent d'être mentionnés, ils peuvent être réels ou imaginaires. S'ils sont réels, ce sont des points maximums ou minimums de la courbe réelle, et s'ils sont imaginaires, ce sont des points maximums ou minimums de l'enveloppe imaginaire des conjuguées. En eff"et, ils appartiennent à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, puisque le coefficient angulaire y est réel^ et ce sont des points maximums ou minimums de cette courbe, puisque la tangente y est parallèle à l'axe des x.
Les points maximums ou minimums réels sont les points minimums ou maximums de la conjuguée 0=0 et ce sont, en général, les seuls
pomts maximums ou mmimuras de cette conjuguée, car si ~, en un
point d'une conjuguée C, a pour valeur m-\-n\l — i, le coefficient angulaire de la tangente à la conjuguée en ce point est
S'il s'agit de la conjuguée G = 0, cette expression se réduit à
qui ne peut être nulle qu'autant que m et w le sont séparément, c'est-à-
dy dire que -^ est nul ; or en général les points de l'enveloppe imaginaire
dy des conjuguées où -^ sera nul n'auront pas leurs ordonnées réelles et
n'appartiendront par conséquent pas à la conjuguée G = 0. Ces points maximums et minimums de l'enveloppe imaginaire seront des points maximums ou minimums de conjuguées quelconques.
Pour avoir les points maximums ou minimums d'une conjuguée C, il faudrait exprimer séparément les deux parties réelle et imaginaire du
dy
IttUB
deux équations
coefficient angulaire-;^ = m 4- n J — 1 et résoudre concurremment les dx
/(« + ^V/=~l,«'-fPcv/-l) = 0, m-fn+— ^^=0.
Pohits limites,
204. On peut appeler j5om^s limites d'une courbe les points où l'abscisse est maximum ou minimum ; on les déterminera comme les points maximums ou minimums au moyen des équations
f{x,y) = 0 f'yix,y) = 0
et les solutions obtenues seront sujettes à des exceptions analogues.
Les points limites réels appartiennent à la courbe réelle et à sa conjuguée G = X . Les points limites imaginaires appartiennent à l'enveloppe imaginaire des conjuguées et aux conjuguées dont les caractéristiques sont celles des points obtenus comme solutions.
203. Nous ferons seulement remarquer, à ce sujet, que, en un point oti l'ordonnée est infinie, ^, qui est le coefficient angulaire de l'asymptote à la branche qui passe par ce point est aussi infini, que ^4 l'est pareillement, puisque c'est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe dont l'ordonnée serait la valeur de -p- relative à la première
courbe, et ainsi de suite, d'où l'on voit que les valeurs finies delà variable qui rendent infinie une fonction, rendent en même temps infinies toutes ses dérivées à l'infini et que les valeurs finies de la variable qui rendent infinie la dérivée n'"« d'une fonction rendent aussi infinies toutes ses dérivées d'ordres supérieurs au n'"«.
Points d'inflexion.
206. Les points d'inflexion d'une courbe sont ceux où la tangente traverse la courbe, avec cette condition que les deux éléments de la courbe qui partent du point de contact soient en prolongement l'un de l'autre, sans quoi ces points seraient de rebroussement et seraient déterminés par des conditions toutes difi'érentes.
Le coefficient angulaire atteint aux points d'inflexion des valeurs maximums ou minimums, par conséquent ces points sont caractérisés d'une manière générale par la condition
[*] La dérivée seconde, dans cette théorie et dans quelques-unes de celles qui suivent, joue un rôle trop important pour que nous puissions nous dispenser de présenter une
Si /"(x, y)=0 est l'équation du lieu,, on en tire d'abord
et ensuite
r. + .r.|+rv (|y+Ag=o,
la condition -r-^ = 0 se traduit donc généralement par
,,. + sr.| + A.(|) = o
ou, en remplaçant -f- par — -7-,
fil a fil I ^ l fil I ^ A
c'est-à-dire
f'-l fil , a fil f f \ fil , fi
remarque que l'on n'omet ordinairement que parce que l'on se borne à la considération des solutions réelles des équations que l'on discute.
Les points d'un heu où -v^ est nul ou infini sont les points d'inflexion ou de re-
broussement de ce lieu. Si les axes viennent à changer, ces points conservent leur caractère géométrique et l'on en conclut avec raison qu'ils doivent conserver leur
caractère analytique. Aussi admet-on toujours sans démonstration que si -— est actuellement nul ou infini, il resterait nul ou infini au point fourni par la solution transformée de celle que l'on considère, quelque changement qu'on eût fait subir aux axes.
Mais d'abord, il est intéressant de connaître la relation qui lie effectivement les valeurs des secondes dérivées de l'ancienne ordonnée par rapport à l'ancienne abscisse et de la nouvelle ordonnée par rapport à la nouvelle abscisse en un même point quelconque d'un lieu, lorsque les axes ont subi une transformation quelconque; et d'un autre côté, les identités que l'on admet ordinairement sans démonstration ont besoin d'être établies directement lorsque le point considéré étant imaginaire n'a plus un caractère géométrique connu à l'avance.
Soient
x' = mx -\- mj et y' = m'x + n'y
les formules de transformation résolues par rapport aux nouvelles coordonnées, on en tire
et
di,'
,dy dx
dx
dx' dx
dy
dx'
équation que l'on réduira ordinairement à
r-y f"^- - 2/% Tx A + /"r r-^ = 0- Mais les solutions communes aux deux équations
f (x, y) = 0 ei r-y /"x- - V'^.y A f'y + f't P- = 0
ne correspondront pas plus toutes à des points d'inflexion que les solutions des équations /"(j;, 7/) = 0 et/'jr = One correspondaient toutes à des points maximums ou minimums. Les exceptions seront d'ailleurs analogues, puisque les points obtenus auront été déterminés comme points maximums ou minimums de la courbe dont l'ordonnée serait le coefficient angulaire de la tangente à la courbe proposée. On rencontrera notamment parmi eux ceux où -~ se présenterait sous la forme -
et ceux ou ^^ serait aussi nul.
Si m est le degré de f{x, y) = 0, celui de
A rV - 2/%, A fy + {"t A = 0
d'où
dij dx
dx!
En dérivant de nouveau, on trouve
«/x* . dy
dx
d^y' ^ ' dx*' 1
r+"rf^) d£
dx* ou, en remplaçant encore -j- par sa valeur,
d^y' ^ ' dx^
On voit bien ainsi que -^ est nul ou infini en même temps que ^•
Si les anciens axes sont rectangulaires ainsi que les nouveaux, et que l'angle de rotation soit a,
m = cos a, H= — sin a, rn' = sin a et n' = cos a. Il en résulte
diy
dx'^
(ces a — sina -T^ I
sera généralement 3m — 4, par conséquent le nombre des solutions communes aux équations
/ {X, y) = 0 et A fa:' - Sf. f'y f\y + r f't = 0 sera
mais un certain nombre des points correspondants pourront rentrer dans les cas d'exception mentionnés plus haut.
207. Occupons-nous des points d'inflexion proprement dits, où
— = 0, sans qu aucune autre condition particulière se trouve remplie.
Quelles que soient les coordonnées d'ua point d'inflexion, toutes les
Jfyi
courbes déterminées par la condition -J- =r G, qui en émergeront, au-
ront en ce point leur rayon de courbure infini, car la formule du n" 188
^ {p-\-q) (G' — 3Gn^) -\-{p--q) (3C^n — n^)
donnera alors — = 0, puisqu'il faudra y faire jt> et q nuls.
Les points d'inflexion d'un lieu sont donc tels que toutes les courbes qui en émergent et le long desquelles les parties imaginaires des deux coordonnées croissent proportionnellement y éprouvent une inflexion. Ces points sont, dans tous les cas, des points d'inflexion des conjuguées qui y passent.
S'ils sont réels, nous avons vu au n° 1S6, qu'ils appartiennent à la fois à l'une et à l'autre enveloppe, et il est facile de vérifier que ce sont des points d'inflexion pour l'une et l'autre.
En effet, il n'y a pas de doute relativement à la courbe réelle et quant à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, le fait résulte de la formule du rayon de courbure de cette enveloppe en un quelconque de ses points. Cette formule R = r -}- r, où r et r', sont les deux parties réelle et imaginaire de
v^mi
montre, en efî'et, que R est infini quand y^ est nul. Ainsi les solutions fournies par les équations propres à donner les
points d'inflexion de la courbe réelle fourniront soit les points d'inflexion de cette courbe et de l'enveloppe imaginaire des conjuguées, lesquels sont communs, soit des points d'inflexion de quelques conjuguées. D'ailleurs les points qui appartiendront à l'enveloppe totale seront aussi des points d'inflexion pour les conjuguées qui y passeront.
Mais les mêmes équations fourniront-elles tous les points d'inflexion soit de l'enveloppe totale des conjuguées, soit des diverses conjuguées? Pour les conjuguées la réponse est évidemment négative : en effet, le rayon de courbure d'une conjuguée G en un quelconque de ses points est, d'après la formule du n° 190,
1 — n*/ a^r -\- 3nah'' — Sn^ar — n'r'
où n désigne le rapport du petit au grand axe du faisceau des éléments du lieu au point considéré et a la tangente de l'angle que l'élément de la conjuguée fait avec le grand axe de ce faisceau. Or R devient infini quand r et r' le deviennent, mais il devient aussi infini quand n =± 1, ou quand
a^r -\- Sna^r' — 3n^ar — nh'' = 0.
Quant à l'enveloppe totale des conjuguées, au contraire, tous ses points d'inflexion seront donnés par les équations des points d'inflexion du lieu. En effet, le rayon de courbure de l'enveloppe en un quelconque de ses points étant ?' -f- r', tous les points d'inflexion de cette courbe sont nécessairement caractérisés par l'une des conditions r = oc ou^
r' = oc qui exigent l'une et l'autre que —2 = 0.
Ainsi en résumé les équations
f{x,y) = 0 et ^ = 0
fourniront, outre des solutions singulières, tous les points d'inflexion de l'enveloppe totale, et quelques points d'inflexion de quelques conjuguées, caractérisés par cette condition que toutes les courbes partant de ces points et le long desquelles les parties imaginaires dey et de a; croîtraient proportionnellement, auraient leurs rayons de courbure infinis. Les points d'inflexion qui ne rempliraient pas cette condition resteront à l'écart.
Points multiples.
208. Les points multiples d'un lieu sont les points tels qu'un faisceau de droites qui y passe ne coupe la courbe qu'en m — 2 autres points, au plus, si m est le degré de l'équation du lieu. Un point est double lorsqu'un faisceau quelconque de droites qui y passe ne coupe la courbe
qu'en m — 2 autres points, il est triple lorsque les autres rencontres du même faisceau et de la courbe ne sont plus qu'en nombre m — 3 et ainsi de suite.
Lorsque plusieurs branches de la courbe réelle passent en un même point, les coordonnées de ce point ayant la forme réelle, sont nécessairement identiques sur les différentes branches auxquelles il appartient. Mais lorsque plusieurs branches d'une même conjuguée passent effectivement au même point, il n'en est pas de même, les coordonnées réelles de ce point pouvant être partagées de différentes manières en parties réelles et imaginaires, sur les différentes branches de la conjuguée.
Du reste un point multiple, ayant les mêmes coordonnées sur les différentes branches qui y passent, ne saurait appartenir qu'à deux ou plusieurs branches d'une même conjuguée, puisque sa caractéristique est invariable.
Les points oîi l'enveloppe imaginaire se coupe elle-même ne sont pas plus nécessairement multiples que ceux oti passent deux branches d'une conjuguée quelconque.
Une courbe de degré m qui a un point multiple est la section d'une surface de degré m par un de ses plans tangents. La présence de points multiples caractérise donc d'une certaine manière les lieux dans leurs degrés.
Le coefficient angulaire de la tangente en un point [x, y\ d'un lieu
f'x (x y) f[x, y) = 0 est donné par l'expression — 'f ' , qui ne comporte gé-
néralement qu'une valeur, lorsque l'équation du lieu a été ramenée à la forme entière; tandis que le coefficient angulaire doit avoir, en un point multiple, autant de valeurs qu'il y passe de branches distinctes de la courbe.
fx
Il faut donc, pour que l'accord se rétablisse, que l'expression — y
Jy
se présente, aux points multiples, sous la forme -, c'est-à-dire qu'en ces
points f'x et f'y s'annulent.
Ainsi on obtiendra les points multiples d'un lieu f{x, ^/) = 0 en cherchant les solutions communes aux équations
f{x,y)=0, A = 0 et f'y = 0.
Gomme trois équations à deux inconnues sont généralement incompatibles, on retrouve ici, sous une autre forme plus explicite, l'expression de ce fait que les lieux qui ont des points multiples sont plus ou moins particuliers.
Cela posé, nous appellerons points multiples d'un lieu f {x,y) = 0 les points correspondant aux solutions communes que pourront avoir les équations
f{x,y) = 0 A=0 et A=0,
soit que ces solutions soient réelles ou qu'elles soient imaginaires.
Ainsi la méthode est toujours la même: les objets sont définis par rapport au lieu réel; les propriétés dont ils doivent jouir lorsqu'ils sont réels font connaître les équations propres à les déterminer, et ces équations servent ensuite de définitions aux objets eux-mêmes, lorsqu'ils deviennent imaginaires : reste alors la question de savoir ce que donnent ces équations.
Ici la réponse est facile : les lieux de degré m qui ont des points multiples sont les sections de surfaces de Tordre m par leurs plans tangents et les points de contact sont les points multiples ; si les contacts ont lieu sur les conjuguées de la surface, les points multiples sont imaginaires.
Toute droite réelle ou imaginaire dont l'équation est satisfaite par les coordonnées d'un point multiple d'un lieu, peut être considérée comme tangente au lieu en ce point, puisqu'elle coupe effectivement le lieu en deux points confondus en un seul.
Les points multiples, satisfaisant aux conditions f{x, y) =0 et f'x = 0, sont compris parmi les solutions des équations qui donneraient les points maximums ou minimums, et parmi celles des équations qui donneraient les points limites, comme satisfaisant aux deux conditions f{x, y) = 0,
Ils seraient, du reste, aussi bien compris parmi les solutions des équations qui donneraient les points de contact des tangentes menées au lieu parallèlement à une direction quelconque.
209. Les accroissements correspondants dx et dy de x et de y, en un point [Xy y] d'un lieu /"(x, y] = 0 sont liés entre eux par la relation
^ dy ^ • ^dx.dy 1.2 ^ ' * * "
^ dy^i.2^ ""
f{x, y) est nul de lui-même, par hypothèse, et en général la limite da rapport de dy à dx est fournie par l'équation
fdx+'^-fdy^O.
dx dy ^
En un point multiple, cette équation s'évanouit d'elle-même, puisque
-7- et -7^ se réduisent a zéro.
dx dy
Si les coefficients des termes du second degré en dx et dy ne s'éva-
nouissenfc pas, la limite du rapport de dy à 6?.r est fournie par l'équation du second degré
di/ \dx} " dy dx \dx) dx^
et le point est simplement double.
Si le point était triple, on devrait trouver trois valeurs pour la limite
dy d^f d^f d^f
-du rapport -r- et, par conséquent, les trois coefficients -rr, , ' et -r-i
dx 1 ' ^yï (ly dx dx^
dy devraient aussi disparaître. La valeur de -j- serait alors fournie par l'équation
dy^ \dx) dy^dx \dxj dydx^ \dxj dx^
et ainsi de suite.
Quel que soit l'ordre de multiplicité du point considéré, les éléments
du lieu en ce point formeront autant de faisceaux qu'il y aura d'unités
dans le numéro de cet ordre ; et si quelques valeurs de —y sont réelles,
les faisceaux correspondants s'aplatiront chacun en une droite.
Omhilica.
210. M. Ghasles a nommé ombilics d'un lieu rapporté à des axes rectangulaires, les points où la dérivée de y par rapport à a; a la valeur
V' — \ . En ces points le coefficient angulaire est indépendant de la direction des axes, de sorte que le faisceau des éléments du lieu y est symétrique par rapport à toute direction. Nous avons donné au faisceau, dans ce cas, le nom de circulaire.
On voit par la formule du n° 190,
/l-j-rt'\2 2n=^ (r^ -f r'^)
a¥ + 3a*w;'' — 3fm-;- — nV"
où n représente le quotient par y — 1 de la tangente de l'angle i]/ y' — ^ » défini par l'équation
^=tang(^ + ^V3ï),
que si n se réduit à 1, c'est-à-dire si le point \x, y] est un ombilic, les courbes qui émergent de ce point et le long desquelles les parties ima-
ginaires de y ei de x varient proportionnellement, y ont toutes leurs rayons de courbure infinis.
Les ombilics sont, en particulier, des points d'inflexion des conjuguées qui y passent'.
Ils ne sauraient appartenir à l'enveloppe imaginaire des conjuguées puisque le coefficient angulaire n'y est pas réel, mais ils peuvent être eux-mêmes réels. Ce sont alors des points isolés de la courbe réelle, mais des points isolés circulaires, c'est-à-dire des anneaux évanouissants qui ont pris à la limite la figure circulaire.
Un ombilic imaginaire n'appartient qu'à une conjuguée, mais un ombilic réel est un point de concours de tou.tes les conjuguées d'une certaine catégorie, et toutes les conjuguées qui y passent s'y infléchissent.
Points de raccord.
211. Lorsqu'au un point double d'un lieu /(ar, y) = 0, l'équation
dy^ \dx) dy dx dx dx^
donne deux valeurs égales pour -j-, les deux branches du lieu qui passent en ce point y sont tangentes, mais ce point peut être un point de cpntact entre deux branches distinctes, un point double d'inflexion, ou un point de rebroussement ; il est important de distinguer les trois cas les uns des autres.
Nous nommerons points de raccord les points où deux branches du lieu se touchent et se prolongent séparément, dans des conditions diffé-
dv rentes. En ces points ou y et -^ ont déjà chacune deux valeurs égales,
— a en général deux valeurs différentes, les deux branches n'ayant pas
d^'u nécessairement même courbure, et si ^ a deux valeurs égales diffé-
ax'^
rant à la fois de zéro et de l'infini, les deux branches considérées ont même courbure, à moins d'autres conditions particulières; c'est tout ce à quoi se réduit le fait.
Si le point considéré est réel et que l'équation du lieu ait ses coefficients réels, les deux valeurs égales de ~- sont aussi réelles et le point appartient à la courbe réelle. Si le point est imaginaire, en général les deux valeurs de -7-, quoique égales, sont imaginaires; le point est
alors un point de raccord de la conjuguée qui y passe. Mais si les deux valeurs égales de j- sont réelles, le point appartient à l'enveloppe imaginaire des conjuguées et en est un point de raccord.
Points doubles d'inflexion.
du 212. Ces points, Ghy qï -j- ont déjà séparément des valeurs égales,
sont caractérisés par la condition que -7^ ait aussi deux valeurs égales
mais nulles.
Si le point est réel et que l'équation du lieu ait ses coefficients réels,
dy les deux valeurs de -j- seront aussi réelles et le point appartiendra à la
fois à la courbe réelle et à l'enveloppe imaginaire des conjuguées. Il sera point double d'inflexion à la fois pour la courbe réelle, pour l'enveloppe imaginaire des conjuguées et pour la conjuguée qui y passera.
Si le point est imaginaire, ce sera un point double d'inflexion pour la conjuguée qui y passera.
Points de rebroiissement.
dii 213. Les points de rebroussement sont les points doubles où ~ a
dx
d^y deux valeurs égales, mais oti ~ est infini.
Les branches de la courbe réelle qui passent en un point de rebroussement s'y arrêtent généralement, mais il peut arriver que deux points de rebroussement se rejoignent, les branches qui y passent ayant d'ailleurs même tangente". La figure de la courbe serait alors la même que si au lieu d'un point double de rebroussement on avait affaire soit à nn point de raccord, soit à un point double d'inflexion. La distinction se
d}y fera par la discussion de -— qui ne présente rien de particulier en un
point de raccord, s'annule en un point double d'inflexion, et passe par l'infini en un point de rebroussement.
On distingue habituellement deux genres de points de rebroussement : le rebroussement est dit du premier genre lorsque les deux branches sont séparées par leur tangente commune, ou, ce qui revient au même, lorsque les courbures de ces deux branches sont en sens contraires et du second genre dans l'autre cas.
Les deux cas se distinguent l'un de l'autre en ce que dans le premier la dérivée seconde change de signe en passant par l'infini, ce qui fait changer de sens la courbure, tandis que dans le second elle conserve son signe.
214. La dérivée seconde dey par rapport à a^ en un point double où les tangentes se confondent, est généralement infinie parce que c'est le
coefficient angulaire de la courbe dont l'ordonnée serait -j-.
Mais il importe d'avoir une méthode pour distinguer à cet égard les cas les uns des autres.
Si le point considéré était réel, on y transporterait l'origine des coordonnées; s'il est imaginaire, on fera le changement analogue de variables, qui n'allérera ni le degré de multiplicité du point, ni les valeurs des dérivées de y par rapport à x.
S'il ne s'agit que d'un point double, les deux tangentes étant supposées se confondre, l'équation du lieu prendra la forme
{y — mxf + Ay' -f By^x + Cyx' + Dx' + =0.
La première dérivée de y par rapport à x sera fournie par l'équation
[2 [y — mx) + 3Aj(» + 2Byx -\- O*] y'— 2m {y — mx) -\- By* + 2Cy« + SDx* -f . . . = 0
et la seconde le sera par
[2{y-mx) + ZAy* + 2Byx + Cx^]y"+[-2 + 6\y+2Bx]y'* + [—Am-\-hBy-\-iCx\y + 2m^ + 2Cy + &Dx+ ,...=0.
Si l'on veut la valeur de y" à l'origine, il faudra d'abord remplacer dans cette dernière équation y' par m, puisque c'est la valeur de la première dérivée en ce point. On aura ainsi •
[2 (y — mx) + 3A!/2 4. 2Byx + Cx«] y" + (6Ay -+- 2Ba;) m» ^- (4By -\- iCx) m + 2Cy4-6Da;+ =0;
Il faudra, en outre, faire tendre y et j? vers zéro, en établissant entre eux, à la limite, un rapport égal à m .- cela revient à diviser tous les
y termes par xeih remplacer - par m. L'équation devient alors
[3kmy -f 2Bmx -f C^] y" -f 6Am' + 6Bm* + 6Cm + 6D -f . . . =0
d'où l'on tire
„ __ 6 Am^ -f Bm' 4- Cm -I- D -f . . . . ^ ~~"ï 3Am^-f 2Bm + C
les termes omis au numérateur contenant tous y ou x en facteur disparaissant à la limite.
Cela posé, on voit que y" sera généralement infini, ou du moins qu'il faudra introduire une hypothèse nouvelle pour qu'il conserve une valeur finie. Cette hypothèse est
km^ 4- Bm^ + Cm -f- D = 0 ;
elle signifie que y — ma? doit se trouver facteur dans l'ensemble des termes du troisième degré de la nouvelle équation.
Lorsque cette condition ne sera pas remplie, la dérivée seconde, au point considéré, sera infinie. Dans le cas contraire elle se présentera
sous la forme - et pourra alors être quelconque.
215. Ce qui vient d'être dit permettra d'assigner d'une façon plus
du précise les caractères distinctifs des différents points doubles où -4-
aurait deux valeurs égales. Ainsi, pour que le point considéré soit simplement un point de raccord, ou un point double d'inflexion, il faudra que le premier membre y — mx de l'éqnatioji de la tangente se trouve facteur dans l'ensemble des termes du troisième degré de l'équation de la courbe rapportée au point considéré pris pour origine.
Si cette condition est remplie et que d'ailleurs les valeurs de y" ne soient pas infinies, le point ne sera pas de rebroussement; d'ailleurs suivant que y" sera différent de zéro ou égal à zéro, le point sera de raccord ou d'inflexion.
Si y — mx étant facteur dans l'ensemble des termes du troisième degré, y" est encore infini, le rebroussement sera du second genre; en effet, dans le cas où l'équation de la courbe se présente sous la forme
{y — mxf -{- {y — mx^ [Ay^ -\- Bxy -)- Gx^) -j- . . . . = 0,
on voit que la droite y=zmx coupe la courbe en quatre points confondus à l'origine, ce qui ne doit pas arriver en général dans le cas du rebroussement de premier genre. 11 faudrait, dans ce cas, pour avoir y" et savoir s'il change de signe, tenir compte des termes du quatrième degré.
210. Un point de rebroussement pouvant être considéré comme un anneau évanouissant doit tenir lieu, lorsqu'il est réel, d'une portion de l'enveloppe réelle des conjuguées, c'est-à-dire appartenir à toutes les conjuguées -dont les caractéristiques restent comprises entre de certaines limites ; et en effet, lorsqu'une droite qui se déplace parallèlement à elle-même arrive en un point de rebroussement de la courbe réelle et le dépasse ensuite, le^ nombre des points réels suivant lesquels elle coupe Je lieu change alors habituellement; la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à la direction constante de cette droite mobile doit donc prendre naissance au point de rebroussement. Du
POINTS SINGULIERS DES COLRBES PLVNES. 215
reste ce point est aussi de rebroussera ent pour toutes les conjuguées
dry •qui y passent, car j^^ y étant infini, le rayon de courbure d'une quelconque des conjuguées qui y passent s'y annule comme celui de la courbe réelle.
Un point de rebroussement imaginaire, mais où le coefficient angulaire de la tangente serait réel, appartiendrait à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, mais il n'y passerait que la conjuguée dont la caractéristique serait celle de ce point. Cette conjuguée y éprouverait en tout cas un rebroussement.
Points conjugués.
217. Un point double réel où les tangentes sont imaginaires prend ordinairement le nom de point conjugué. Mais il ne se distingue des points multiples des conjuguées qu'en ce qu'étant réel il tient lieu d'un anneau de la courbe réelle et que, par conséquent, il y passe une infinité de conjuguées.
Lignes multiples des surfaces.
218. Si l'un des coefficients différentiels -/-, -/-, -f- est nul en un point
dx dy dz
[x, y, z] d'une surface, le plan tangent en ce point est parallèle à l'axe correspondant; si deux des trois coefficients sont nuls, le plan tangent est parallèle au plan des deux axes correspondants; mais si les trois coefficients différentiels s'annulent en même temps, le plan tangent devient en apparence indéterminé. Le fait tient en général à ce que la surface a plusieurs plans tangents au point considéré, ce point se trouvant être un des points de l'intersection de deux nappes de la surface. Pour obtenir séparément, dans ce cas particulier, les divers plans tangents qui peuvent exister, il suffira de distinguer les diverses séries de tangentes aux sections faites dans la surface par des plans contenant le point considéré et de chercher ensuite séparément les lieux de ces tangentes dans chaque série.
Les plans sécants pouvant être dirigés arbitrairement, nous les supposerons, pour plus de simplicité, parallèles à l'axe des -, ils auront alors pour équation générale
Y— yr^m (X — a:).
L'équation de la projection sur le plan des xz de la section faite par l'un d'eux résulterait de l'élimination de Y entre les équations
/•(X.Y, Z) = 0 et Y — y^Tn{X—x).
216 CHAPITRE XIY,
Si cette élimination avait été effectuée et qu'elle eût donné pour résultat
les équations des tangentes à la section au point [a?, z,] en supposant que ce point fût simplement double, seraient
n étant l'une des racines de Téquation
d\ „ , d\ , d^(û dz^ ' dxdz ' dx^
l'équation du système de ces tangentes serait donc
d\ (Z — zV' , d\ Z — z ^ d\
dz^ \X — xj dx dz X — X dx^
enfin le système des tangentes à la section dans son plan serait représenté par l'ensemble de cette dernière équation et de
et l'équation du système des deux plans tangents i-ésulterait de Télimination de m entre ces dernières.
219. Telle est la marche qu'il y aurait à suivre dans chaque cas particulier; mais pour arriver à une formule générale, nous n'effectuerons pas l'élimination de Y entre /"(X, Y, Z) =0 et Y — y = m (X — x), mais nous exprimerons les coefficients diflerentiels
dx^'' dxdz dz^
au moyen des dérivées de /"(X, Y, Z), oii Y sera considéré comme une fonction de X, ayant d'ailleurs pour dérivée
les dérivées premières de <p par rapport à X et à Z sont
^"rfX + '^rfY rfz""rfZ'
Y étant supposé remplacé par la valeur ?/ -f- w (X — a;) ; de même
et
rfX^Z d\dZ ' dXdZ
£? ^ d7J ~ dZ^
Y étant de même supposé remplacé par sa valeur. L'équation
^ (^-'\ ' 4- 2 -^ ^^If 4-^-0 dz^ {X—xJ '^ dxdzX—x~^ dx"
revient donc à
dz-\\—xJ [dxdz dy dz]\—x dx^ dxdy dy-
et il ne reste plus qu'à éliminer m, c'est-à-dire à le remplacer par -.
Cette élimination donne pour l'équation du système des plans tangents
On trouverait aussi aisément l'équation du système des trois plans tangents en un point où trois nappes d'une même surface viendraient se couper. Un pareil point serait caractérisé par les conditions
^=0 ^=0 ^-0 ^-0 ^-0 ^-0 -i^-O -^-0 et -^ rfx r/y dz dx^ dy^ dz^ dx dy dy dz dz dx
Quadrature de la conjuguée dont les abscisses sont réelles,
220. L'aire comprise entre l'axe des x, deux ordonnées et un arc de la conjuguée qui a sa caractéristique infinie, s'obtient par la même intégration qui fournirait l'aire d'un segment analogue de la courbe
réelle : la même intégrale sin YX i y dx prise entre des limites réelles
par rapport à x, représentera soit l'aire d'un segment de la courbe réelle, soit l'aire d'un segment de la conjuguée C ^ oo , suivant que les valeurs de y correspondant aux valeurs qu'aura prises la variable x, seront réelles ou imaginaires.
Dans le second cas, l'intégrale aura la forme A -|- B y— 1 : A représentera l'aire d'un segment du diamètre correspondant aux cordes parallèles à l'axe des // de la conjuguée G = x , et B l'aire comprise entre cette conjuguée et son diamètre.
Quadrature d'une conjuguée quelconque.
221. On pourrait évaluer l'aire d'une conjuguée quelconque de la courbe réelle, en reridant préalablement ses abscisses réelles. Après avoir donné à l'axe des y une direction convenable, on obtiendrait, comme dans le cas précédent, la mesure de l'aire comprise entre l'ancien axe des x, deux parallèles au nouvel axe des y, et un arc quelconque de la conjuguée considérée; pour avoir l'aire qu'on se proposait d'obtenir, et qui devait être comprise entre l'axe des x, deux parallèles à l'ancien axe des ?/ et l'arc de la conjuguée, il ne resterait qu'à corriger le résultat obtenu, en y ajoutant la différence des aires des deux triangles qui auraient pour sommets les points extrêmes de l'arc de la conjuguée, pour côtés, des parallèles à l'ancien et au nouvel axe des y, et pour bases, les segments de l'axe des x interceptés entre ces parallèles.
Mais alors on aurait, pour chaque conjuguée, à effectuer une transfor-
mation de coordonnées, la résolution par rapport h y de la. nouvelle équation de la courbe, et, ce qui serait pis encore, une nouvelle intégration. Toutes ces complications peuvent être évitées, et la seule intégration qu'exige la quadrature de la courbe réelle suffira à la quadrature de toutes ses conjuguées.
La direction des ordonnées qui limitent le segment qu'on veut calculer est presque toujours indifférente par elle-même; un changement dans cette direction n'entraîne qu'une correction toujours facile à faire et qui n'affecte pas la partie intéressante, au point de vue analytique, de l'intégrale qui représente le segment considéré. Pour cette raison, et pour fixer le langage, lorsqu'il s'agira d'une conjuguée quelconque, nous ne nous occuperons que de l'aire comprise entre un arc de cette conjuguée, deux de ses cordes réelles et l'axe des x; c'est toujours d'un segment pareil que nous entendrons parler, lorsque nous nous occuperons de l'aire de la conjuguée, et c'est ce segment que nous allons nous proposer d'évaluer.
Le principe qui va nous servir à ramener à une seule toutes les intégrations, en apparence différentes, qu'il faudrait effectuer pour quarrer les différentes conjuguées d'une même courbe, résulte de la remarque suivante : Une seule intégration effectuée par rapport à la courbe réelle, rapportée à cerlains axes, suffirait pour qu'on put, par des transformations algébriques simples, former l'expression analytique de l'aire d'un segment de la même courbe rapportée à d'autres axes.; mais on sait, d'un autre côté, que chaque expression de l'aire de la courbe réelle rapportée à des axes quelconques convient à l'aire de la conjuguée dont les abscisses sont alors réelles. Il est facile de préjuger de là qu'une seule et même intégration doit suffire pour quarrer la courbe réelle et toutes ses conjuguées.
222. Soit AB un arc de la courbe réelle rapportée successivement aux axes OX, OY et OX, OY', l'aire à calculer sera PABQ ou P'ABQ', et sera représentée par
ou par
sin Y
iXjy dx, XJ xj dx.
Fig.
ces intégrales étant prises entre les limites [Xç^^y^, [^vy^ ou [x',,, y'o], [x\,y'^ qui correspondent aux extrémités A et B de l'arc considéré ; la différence de ces deux intégrales est celle des aires des deux triangles QBQ' et PAP', qui ont pour mesures
sinYT.Mi et sinY'Y^.
En remplaçant y\ et y\ par leurs valeurs en fonction de y^ et y,, tirées des formules de transformation
X sin YX = x' sin YX + y' sin YT, y sin YX = y' sin Y'X,
on obtient, pour expression de cette différence,
/^\v\ r^iVi \ sin YX
, ^ y'dx',- sinYX [ ydx = -\ sin Y'Y^ (yf-y„«),
ce qui donne
sm
.^ ^ 3/V^'=sinYX/ yrf^ sinY'Yi-4;|(y?-y^),
l'angle Y'Y étant compté positivement de l'axe des y vers l'axe des x.
Cette égalité, qui subsiste toujours vraie quels que soient a^^, y^, x^, y^ réels, est une identité absolue. La fonction analytique qui représente l'aire d'une conjuguée quelconque comprise entre des cordes réelles partant de deux de ses points L^o2/o]> [^i^il ^st donc
SinYX
ydx
1 sin y Y
2 sin Y'X
{y\-yl)
ou, en remplaçant . par la caractéristique C,
sin Y'Y sinYX
ij^r'-ydx
La partie réelle de cette quantité représente Taire du diamètre de la conjuguée qui di\ise en parties égales ses cordes réelles, et la partie imaginaire l'aire comprise entre la conjuguée et son diamètre. Lorsque les limites de l'intégrale correspondent à des points où la
conjuguée touche la courbe réelle, la partie — sin YX ' 'ap. ^^^ réelle
et représente alors effectivement la différence des deux triangles, l'un ajouté, l'autre retranché au segment qui serait compris entre des parallèles au premier axe des y; de sorte que
y dx,
X^Vo
SinYX
dans ce cas, représentCi par sa partie imaginaire, l'aire fermée comprise entre la conjuguée et le diamètre qui divise en parties égales ses cordes
réelles, et par sa partie réelle l'aire comprise entre le diamètre, l'axe des ar et les deux ordonnées x=Xq, x=:.x^.
225. La théorie précédente ne suppose aucunement que l'équation
qui définit ^ ait ses coefficients réels. Par conséquent, si l'on sait quarrer les courbes renfermées dans une même équation littérale, on saura, par là même, non-seulement quarrer toutes les conjuguées de ce^ courbes, mais encore celles qui seraient fournies par la même équation où l'on aurait attribué aux constantes des valeurs imaginaires.
Par exemple, les aires de toutes les courbes imaginaires que peut représenter l'équation générale du second degré à coefficients imaginaires pourront s'exprimer au moyen seulement des fonctions circulaires et logarithmiques.
224. L'intégrale j ydx prise entre deux limites dont Tune est celle
d'une valeur de x pour laquelle y est infinie, peut être finie ou infinie : il est important d'établir la condition relative à chacun des deux cas. Soit
<f{x) ne s'annulant ni ne devenant infini pour x'=a.
Si X s'éloigne très-peu de a, ç {x) s'éloignera très-peu de cp (o), de sorte que l'intégrale
'^ ^(^^ dx
Jx (x — a)
{x — a) différera aussi peu qu'on le voudra de
'« dx
ou de
c'est-à-dire de
Cette quantité est finie ou infinie, suivant que a est pfe petit ou plus grand que 1. Pour a=rl, elle se présente sous une forme illusoire; mais on sait que, dans ce cas, l'intégrale est infinie.
Par conséquent, l'inlégrale / ydx, prise entre deux limites dont l'une,
a, fournit une valeur infinie pour y, reste finie ou devient infinie suivant que la limite du produit de y par a;— a est nulle ou ne Test pas.
Rectifications.
