La formule de la distance de deux points
ne représente plus, lorsque ces points sont imaginaires, que le rayon du cercle imaginaire qui aurait pour centre l'un d'eux et qui passerait par l'autre; la distance vraie des deux points n'y a qu'un rapport trèsindirect. Il en est naturellement de même de la formule
sjdx^ + dy^
de la distance de deux points infiniment voisins. Par conséquent, l'intégrale
prise le long d'une conjuguée quelconque d'un lieu [x,y'\, représentera une grandeur que l'on pourrait définir, mais qui ne sera pas la longueur de l'arc de cette conjuguée compris entre les limites de l'intégration.
La même intégrale, qui sert à rectifier une courbe réelle, ujb donnerait donc pas les longueurs prises sur ses conjuguées.
Mais le long de l'enveloppe imaginaire des conjuguées -^ est réel et
représente le coefficient angulaire de la tangente à cette courbe.
dx \/ i -\- i-j-\ , abstraction faite du signe \j — 1 qu'on remplacerait par 1, représente donc l'élément de la courbe et ,
en représente un arc quelconque.
Si donc, pour avoir l'arc de la courbe réelle représentée par l'équation proposée, on a posé
de sorte que l'aire de la courbe [2, x] représente l'arc de la courbe [y, x], l'aire de la conjuguée à ordonnées réelles de la courbe [z,x] représentera proportionnellement l'arc de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la courbe proposée.
En d'autres termes, l'arc de l'enveloppe imaginaire des conjuguées est fourni par la même intégrale qui donne l'arc de l'enveloppe réelle, ou de la courbe proposée.
On verra dans le second volume une application intéressante de cette remarque à la théorie des fonctions elliptiques.
Gubature de la conjuguée dont les ordonnées z sont seules
imaginaires.
226. Les axes étant supposés rectangulaires, l'élément du volume droit compris entre le plan des xy et la surface que l'on veut cuber est
' zdx dy
ou
F {X, y) dx . dy,
si l'équation de la surface a donné
z = Y{x, y). Ce volume droit indéfini est représenté par l'intégrale
jdy JV {x,y)dx;
pour le limiter, on se donne habituellement la trace horizontale, fermée, du cylindre qui doit en former le contour. Si cette trace est représentée par une équation f{x, y) = 0 qui donne
le volume considéré est représenté par
(i) / dy F{x,y)dx,
^ y« -J tiv)— V'!/ (y)
y^, et yi étant les ordonnées maximum et minimum de la courbe f{x,y)=0.
Si la trace horizontale du cylindre est sinueuse et que son équation fournisse plus de deux valeurs de :c en y, le volume s'exprime par plusieurs intégrales doubles dont les limites par rapport à x sont les différentes valeurs de x en fonction de y, prises deux à deux en ordre con-
venable, et les limites par rapport à y, les ordonnées maximum et minimum des différentes branches de la courbe sinueuse.
Le cas qui se présente le plus fréquemment est celui où le cylindre, qui comprend le volume à cuber, projette sur le plan horizontal le contour apparent de la surface. Si ce contour est limité dans les deux sens des X et des y, on calcule, comme il vient d'être dit, le volume droit compris entre la surface entière et le plan horizontal.
Si le contour est illimité, par exemple, dans le sens des x positifs et limité dans le sens des x négatifs, on peut le terminer, dans le sens des x positifs, par une parallèle x= x^k l'axe des y; alors x = -/{y) étant la valeur de x tirée de l'équation du contour apparent, le volume est représenté par
(2) r^yp F{x,y)dx,
y^ et y^ étant les ordonnées limites de la base du cylindre sur la droite x=Xj, ou par plusieurs intégrales de même forme avec d'autres de la forme (1) si la base du cylindre comprend plusieurs branches du contour apparent, et que ce contour présente des points maximums et minimums par rapport à y.
Si le contour apparent est illimité dans les deux sens des x positifs et négatifs, on le termine par des parallèles à l'axe des y,x = XQetx==x\ qui rencontrent le contour apparent et forment avec lui un espace clos sur le plan des xy; alors, outre des intégrales de la forme (1) ou (2), l'expression du volume en comprend d'une troisième forme
(3) C^dyr¥(x,y)dx.
t/y„ Jx,
Si la surface n'a pas de contour apparent sur le plan horizontal, en ce sens que ses points projetés parallèlement à l'axe des z recouvrent tout le plan des xy, on peut former sur ce plan un contour rectangulaire au moyen de deux parallèles à l'axe desy, u.= Xo, x = x^, et de deux parallèles à l'axe des x,y^=yf^^y=.y^^ et le volurhe s'exprime par une intégrale de la forme (3).
Cela posé, la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles se cubera exactement comme la surface réelle, car dx et dy étant réels et F (x, y) seul imaginaire, la partie réelle de l'intégrale
j dy j F {x, y) dx
représentera le volume terminé à la surface diamétrale, correspondant aux cordes parallèles à l'axe des -, de la partie considérée, et la partie imaginaire le volume compris entre la surface diamétrale et la conju^ guée.
227. Si l'on prenait dans le plan horizontal un contour fermé quelconque, partie placé au-dessous de la surface réelle, partie au-dessous de la surface imaginaire, l'intégrale, abstraction faite du signe
V — 1 qu'on remplacerait par 1, représenterait la somme des volumes cylindriques terminés à la surface réelle et à la surface imaginaire.
On peut trouver dans cette remarque le moyen desimpliuer quelquefois le procédé de calcul habituellement employé pour cuber la surface réelle. En effet, une intégrale de la forme
(3) rdyrY{x,y)dx
est généralement plus aisée à obtenir que celles des deux autres formes, parce que les limites x^ et x^ y sont constantes au lieu d'être des fonctions de y ; cette intégrale donne un volume à base rectangulaire et non pas terminé au contour apparent de la surface, ce qui est habituellement ce dont on a besoin.
Mais si ce contour rectangulaire dépasse le contour apparent de la surface réelle, l'intégrale représentera sous forme réelle le volume cylindrique compris entre la surface réelle et le plan horizontal, volume qui aura pour base toutou portion du contour apparent, plus le volume de la surface diamétrale compris dans l'intérieur d'un cylindre limité au contour apparent de la surface réelle et au contour rectangulaire, et sous forme imaginaire, le volume compris dans ce même cylindre entre la surface diamétrale et la surface imaginaire.
Or, si la surface diamétrale est précisément le plan des xy, son volume sera nul, et l'intégrale ne se composera plus que de deux parties, l'une réelle qui sera ce que l'on Cherchait, et l'autre imaginaire qui se séparera aisément.
Si la surface diamétrale était quelconque, il faudrait la cuber à part, et cela ramènerait en général la difOcuUé qu'on voulait éviter; cependant, quand il s'agira de trouver le volume compris entre les deux nappes de la surface réelle, que sépare le plan diamétral qu'elle a en commun avec saxonjuguée, ce volume devant s'obtenir par une soustraction où le volume de la surface diamétrale disparaîtrait comme partie commune, rien ne s'opposera plus à la réussite de l'artifice que nous signalons.
Pour calculer le volume compris entre le plan des xy et une conjuguée quelconque, on pourrait rendre d'abord ses abscisses et ses ordonnées réelles, en changeant la direction de Taxe des z; mais nous allons voir qu'il est représenté par la même intégrale double qui donne le volume de la surface réelle, à la différence près toutefois d'une intégrale simple qui formera une partie complémentaire analogue à celle qu'introduit la recherche de l'aire d'une conjuguée quelconque d'une courbe plane.
CUBATIRE DES SURFACES IMAGINAIRES. 22 r
Cubature (Tune quelconque des conjuguées dont les ordonnées i et x seules sont imaginaires.
228. Les ordonnées r et x de la conjuguée considérée étant seules imaginaires, pour rendre réelles ses abscisses, il suffirait d'incliner convenablement l'axe des z dans le plan des zx; en d'autres termes, les cordes réelles de la conjuguée seront parallèles au plan des zx.
Gela posé, la question peut, sans inconvénient, être réduite à déterminer le volume compris entre la conjuguée considérée, un cylindre parallèle à ses cordes réelles et le plan des xy : si l'on voulait ensuite donner aux génératrices du cylindre une autre direction, sans changer la courbe suivant laquelle il devrait couper la conjuguée, la correction à faire se réduirait à l'introduction de l'intégrale simple qui exprimerait la différence des volumes des deux cylindres.
La question ainsi posée n'exige aucune invention nouvelle ; chaque plan parallèle aux xz donne dans le cylindre considéré une section trapézoïdale dont l'aire, les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires, est exprimée, comme on l'a vu au n° 222, par
-j ' " F {^, y) dx,
[xq^Zq], [x,, :,] étant les deux points où le plan parallèle aux xz, dont il s'agit, coupe l'intersection de la conjuguée et du cylindre, et l'intégrale étant prise comme si y était constant.
Le volume compris dans le cylindre entre deux plans parallèles aux xz, infiniment voisins, est donc
et le volume cherché, si y^^y^ eL y=yi sont les deux plans limites qui comprennent le cylindre, est représenté par
expression qui ne diffère que par une intégrale simple de la formule du volume indéfini de la surface réelle.
Dans cette expression, la partie réelle représente le volume compris dans le cylindre considéré entre le plan des xy et le diamètre qui partage en parties égales les cordes réelles de la conjuguée, et la partie imaginaire, le volume compris dans le même cylindre entre la conjuguée et son diamètre.
Si le cylindre est circonscrit à la surface réelle, l'intégrale simple
représente le volume compris entre ce cylindre et un autre qui, coupant la surface réelle suivant la même courbe, aurait ses génératrices parallèles aux z; en supprimant donc cette intégrale simple, l'intégrale double qui reste
dy j F {x, y) dx
représente le volume de la conjuguée compris dans un cylindre parallèle aux z.
Cubatnrc d'une conjuyuée quelcoïKjiœ.
229. C et G' étant les deux caractéristiques de la conjuguée considérée, ses cordes réelles seront parallèles à la droite
pour trouver l'expression du volume compris entre une portion de cette surface, un cylindre parallèle à ses cordes réelles et le plan des xy, nous raisonnerons comme en géométrie plane.
S'il s'agissait de la surface réelle, et que la rapportant successivement aux axes primitifs {x, y,z) et à de nouveaux axes {x, y, z') dont le dernier fût parallèle à la droite anciennement représentée par les équa-
tions x= -z, y=-z, on formât les deux intégrales
j dy j zdx et sin (Y, Z'X) C dy Um. Z'X fz'dA
en prenant pour limites les coordonnées, dans l'ancien et le nouveau système, des points d'une même courbe tracée sur la surface : ces deux intégrales différeraient entre elles de l'intégrale simple qui exprimerait la différence des volumes des deux cylindres parallèles l'un aux z, l'autre aux z', terminés d'une part à la courbe choisie et de l'autre au plan des xy.
CUBATURE DES SURFACES IMAGINAIRES. 22Vj
Cette intégrale simple, en désignant par u une ordonnée perpendiculaire à la fois aux z et aux z, est
sinZZ' f , ,
qu'on peut exprimer en fonction de z, x et y de la manière suivante :
D'abord -'= — - — ,, ce qui réduit l'intégrale considérée à cos ZZ
tang ZZ'
y^f.'du.:
en outre des plans parallèles aux z' et aux s, puisque les z sont parallèles
à la droite x=-z, // = — z, ont pour équation générale
C'y — Cx = k, la distance u d'un point x, y, z à l'un de ces'plans est donc
C'y — Cx — k
par conséquent
C'dy
— Cdx
cos
