CO:<STRUCTION PAR POINTS DES CONJUGUÉES

dans les intervalles où 'l(x)\/ — 1 est réel; et l'équation en coordonnées réelles de cette conjuguée sera l'équation algébrique et entière qui admettrait l'une ou l'autre des solutions

Celte équation existe toujours, puisque, pour l'obtenir, il suffirait d'éliminer a' et 'i' entre les équations

et

Imaginons que cette "équation, que nous désignerons par

fi {x, y) = 0,

ait été trouvée : la courbe /"j(a,\ t/) = 0 se composera entre autres des deux branches représentées par les équations

dans les intervalles où •\>{x)\' — 1 est réel; les ordonnées de ces deux branches deviendront égales, lorsque 'l(x) passera par zéro, et ensuite imaginaires ; la conjuguée à abscisses réelles de la courbe fi{x, y)=0 contiendra donc, entre autres, les deux branches représentées par les équations

y. =?(•») + 'f (^) yi = o{x) — ^{x),

dans les intervalles où -i {x) est réel ; l'équation de cette conjuguée, en coordonnées réelles, sera donc l'équation algébrique et entière qui admettrait l'une ou l'autre des solutions

l'équation f{x, y)=0 admettant ces deux solutions sera donc l'équation de la conjuguée de fi{x, y)=0.

22. On peut remarquer sur ce théorème qu'une courbe quelconque se trouvant au nombre des conjuguées de ses conjuguées, a avec elles des propriétés communes qui l'en rapprochent et qui peuvent servir de

point de départ pour former des groupes naturels de courbes distinctes, il est vrai, sous quelques rapports, mais presque identiques sous d'autres.

25. On peut ajouter comme corollaire au théorème précédent cette curieuse remarque :

Lorsqu'un problème, proposé sur une courbe réelle, devient impossible, les solutions imaginaires que fournissent les équations de ce problème donnent, comme on le verra, les solutions du même problème relatif à quelques-unes des conjuguées de la courbe réelle proposée.

D'ailleurs on peut toujours, par une méthode plus complète qui sera bientôt exposée, mettre le problème en équations de manière que la solution obtenue se rapporte à l'une quelconque des conjuguées de la courbe proposée.

Mais si le problème, déjà impossible par rapport à la courbe réelle, l'est encore par rapport à une de ses conjuguées, la solution relative à cette conjuguée sera de nouveau imaginaire ; elle le sera au second ordre, si l'on peut parler ainsi.

Or il est facile de voir que cette solution doublement imaginaire se rapportera à l'une des conjuguées de la conjuguée en question.

Ainsi, supposons que le problème ait pour objet la détermination d'un point jouissant d'une propriété définie et que G soit la caractéristique de la conjuguée sur laquelle on cherche ce point, ses coordonnées auront dû être introduites dans le calcul sous la forme

X = a.-\- {i sj — 1 ,

de telle sorte que les inconnues se soient trouvées être a, [i et «'; or soient

l'équation de la courbe réelle, et

celle de la conjuguée G, en coordonnées réelles : les équations du problème ayant donné pour inconnues des valeurs imaginaires, on aura trouvé par exemple

et je dis que le point