ZZ

d'un autre côté

et par suite

taug ZZ' = VC* 4- C-,

La substitution donne pour la partie complémentaire cherchée ^-jz^(cdy-Cdx),

expression dans laquelle x, y, z sont les coordonnées des points de la courbe qui limite la portion de volume qu'on voulait calculer, de sorte que dx et dy peuvent y être exprimés en fonction de :; et de dz au moyen de l'équation de la surface et de la condition qu'on y a adjointe pour définir la courbe en question.

En résumé donc, s'il s'agissait de la surface réelle, on aurait identiquement

230 CHAPITRE X\l.

sin (Y, Z'X) sin (Z'X) Cdy' fz'ch' = f dy C zdx — 1 fz'{C'dy — Cdx),

xy:^, x'y'z' désignant dans les deux intégrales doubles les coordonnées anciennes et nouvelles des points correspondants de la surface, tandis que dans l'intégrale simple' a?, y, z seraient les coordonnées des points de la courbe tracée sur la surface pour limiter la portion à laquelle correspondraient les deux volumes considérés.

Or cette identité, absolue de sa nature, convient aussi bien à des valeurs imaginaires des coordonnées qu'à des valeurs réelles ; si donc,

étant toujours l'équation de la surface réelle,

est l'équalion du cylindre réel qui doit, dans la conjuguée dont les ca-

ractéristiques sont - et —, intercepter le volume considéré, et que les

équations

z = F{x,y) et .r — -z = f (y — - zj donnent

le volume cherché, représenté par l'intégrale

sin (Y, Z'X) sin Z'X Cdy' fz'dx'

où les limites, qu'il est inutile d'indiquer, auraient été prises convenablement, sera aussi représenté par

1 dy F {x, y) dx

- 5 f' ! F [cp (//) ± '^ {!/), y] 1 ' [C - C cp' (y) + G ^' (y)] dy,

dans laquelle les constantes y^ et ?/j seraient les ordonnées maximum et minimum de la courbe qui limite, sur la conjuguée, la portioa de la surface à laquelle correspond le volume cherché.

Quadratures des surfaces.

S550. L'intégrale qui donne l'aire d'une surface /" (x, ?/, v) = 0 est

JJdxdyy/TTVTf

j) el q désignant les dérivées partielles de z par rapport à x et par rapport à y.

Cette formule ne pourrait pas être utilisée à la quadrature des conjuguées; elle ne pourrait même généralement pas l'être à la quadrature de l'enveloppe imaginaire, quoique p ei q fussent réels le long de cette

enveloppe et que ■== représentât bien le cosinus de l'angle du

plan tangent à cette enveloppe avec le plan des xy, parce que dx . dy ne représenterait généralement pas la projection sur le plan des xy de 1 élément de l'enveloppe.

Toutefois la formule redeviendrait applicable si les coordonnées x et y de Tenveloppe étaient imaginaires sans parties réelles, comme cela arrive pour les enveloppes imaginaires des conjuguées des surfaces du second ordre, rapportées à leurs centres.

DES ANGLES IMAGINAIRES AU CENTRE DU CERCLE RÉEL ET DES TRIANGLES IMAGINAIRES DÉFINIS PAR DES DONNÉES RÉELLES

Construction d'un angle imaginaire sans partie réelle ^ dont on donne les lignes trigonométriques.