L'intégrale
J' dx \a^ — x''
représente l'aire du demi-segment intercepté dans le cercle y^ -f- x^ =a^ par les ordonnées menées à des distances x^ et x du centre ; la même aire est aussi représentée par
X \a' — a-fl
- a^ arc cos — — arc cos - ) 4- - va
de sorte que
1 dxsla^ — x-^=-é (arc cos— — arc cos- ) + -\ja^ — x^ ^\[c^—xl.
Jx, 2 \ a a) "1 2
Si l'aire miesurée est limitée à droite par la tangente x^^a, l'égalité précédente devient
\ dx V « — x^ = — arc cos — — -^ \a} — xi
ou bien
I dx \a? — x^ = — — arc cos — }- - v« — ^7% Si X devient plus grand que a, cette égalité peut s'écrire
J — \ i dx Jx- — a^ = — -" arc cos — [-•- yj — 1 y/x^ — a^
^ Jn 2 « 2
ANGLES IMAGINAIRES Al «lENTRE Dl CERCLE RÉEL, 233
OU bien
' dx six'- — n- — — ^- arc cos - -|- - y x' — o,-, „ ^ a 2
Mais l dx\/x- — a* représente l'aire du demi-segment intercepté dans
l'hyperbole équilatère 1/ — x^ = — a^, entre le sommet de cette courbe et l'ordonnée menée à la distance x du centre : l'aire de ce segment est donc
— -- — arc cos — \- ^\-^' — « ^ 2 a z
d'un autre côté, l'aire du triangle compris entre l'axe des x, l'ordonnée de l'hyperbole menée à la distance x de l'origine et le rayon mené du centre au point [x, y] de la courbe est
par conséquent le secteur hyperbolique, compris entre les rayons dirigés au sommet et au point [x,y], étant la dill'érence du triangle et du segment, son aire sera
arc cos - .
En désignant donc par 'S^ le rapport de l'aire de ce secteur à celle du carré construit sur le rayon a comme diagonale, on pourra écrire
ou
arc cos - = — ^,
• arc cos - = 0 \a '
Ainsi la valeur absolue de l'angle imaginaire, sans partie réelle, dont
le cosmus est une quantité réelle -, plus grande que 1, est le rapport
a* à— ou au carre construit sur a comme diagonale, du secteur intercepté
dans l'hyperbole équilatère y^ — a^ = — a*, entre l'axe transverse, la courbe et le rayon mené au point dont l'abscisse est x. Lorsque a et x varieront proportionnellement, le rapport des aires
du secteur hyperbolique et du carré -restera constant , en sorte que
23i CHAPITRE XVil.
l'angle imaginaire t]; v — 1 ne variera pas ; d'ailleurs, :r et y se trouvant multipliés par un même nombre, l'angle réel formé, avec, l'axe transverse, par le rayon de l'hyperbole, mené au point [j^, y], conservera aussi la même ouverture. L'angle réel et l'angle imaginaire dépendant donc l'un de l'autre, ils pourront être figurés l'un par l'autre.
252. Pour résumer ce qui précède, et le compléter de manière à définir à la fois les six lignes trigonométriques d'un angle formé d'une seule partie réelle ou imaginaire, c'est-à-dire ayant l'une ou l'autre .des
formes ç ou <]/ y — U nous dirons :
Si dans l'équation y^-\-x^ = l on donne à x une valeur réelle quelconque et qu'on prenne la valeur correspondante dey, réelle ou imaginaire, X et y seront le cosinus et le sinus de l'angle réel, ou imaginaire sans partie réelle, dont la valeur absolue serait le double de la mesure du secteur circulaire ou hyperbolique intercepté entre l'axe des x et le
rayon mené au point [x, y] ; - sera la tangente de cet angle, - en sera la
cotangente, - la sécante et - la cosécante. "= X y
Le cosinus et la sécante d'un angle imaginaire sans partie réelle seront réels; le sinus, la tangente, la cotangente et la cosécante seront imaginaires, mais n'auront pas de parties réelles [*],
Construction d'un angle en partie réel^ en partie imaginaire^ dont les lignes trigonométriques sont données.
255. Si dans l'équation y^--\-x'^=\ on attribue à x une valeur imaginaire a -|- ^ V — 1> et qu'on tire la valeur correspondante de y,
a' [ ^ C V— ' ) * + P V — 1 et a' -f- 1^ G \l — 1 seront Je cosinus et le sinus
d'un angle en partie réel, en partie imaginaire, cp + ^ V — ^ '• les deux parties 9 et <|^ de cet angle s'obtiendront aisément par la règle suivante. Le point {x, y] appartenant à la conjuguée C du cercle, si l'on joint le centre à ce point, au point où la conjuguée C touche la courbe réelle, enfin à l'origine de tous les angles, c'est-à-dire à l'extrémité droite du diamètre du cercle couché sur l'axe des x, les trois rayons ainsi menés intercepteront un secteur circulaire et un secteur hyperbolique : © sera
[*] Tous les faits que nous venons de rapporter étaient connus depuis la fin du dernier siècle. Mais la découverte en était restée stérile jusqu'ici, parce qu'elle avait été entièrement fortuite.
ANGLES IMAGINAIRES AU CENTRE DU CERCLE REEL
le double de la mesure du secteur circulaire et J/ le double de la mesure du secteur hyperbolique.
En effet, si l'on fait tourner les axes de l'angle dont la tangente
est — — de manière à amener 1 axe des x en coïncidence avec le rayon
mené au point Ae contact de la circonférence et de la branche de la conjuguée C, sur laquelle se trouve le point [x, y], la nouvelle abs-. cisse x' du même point [x, y] sera réelle et son ordonnée y' imaginaire sans partie réelle; l'angle du rayon mené au point [x\ y] avec le nouvel axe des x sera donc imaginaire sans partie réelle; d'un autre côté, sa valeur algébrique sera
r + t v' — ^ — arc tang
l'angle 9 ne différait donc pas de arc tang | — - j, c'est-à-dire que sa mesure était bien le double de la mesure du secteur circulaire.
Quanta (|^\/— 1, sa tangente— , étant aussi celle du double du secteur hyperbolique, le double de ce secteur et l'angle J/ ne feront donc qu'un.
On pourrait donner de ce théorème la démonstration suivante qui, sans rien ajouter à l'évidence des faits, présente cependant une analogie assez remarquable avec la démonstration la plus usuelle des théo- ^ ' rèmes relatifs à l'addition des arcs I , réels, pour mériter d'être consignée, i '
Soient M {fig. 8) un point quelconque d'une conjuguée TNT' du cercle OA, dont le rayon sera pris pour unité, N le point de contact des deux courbes, o le double de l'aire du secteur circulaire AON , •| le double de l'aire du secteur hyperbolique NOM, enfin x ei y les coordonnées imaginaires du point M : on sait que les parties réelles de a: et de y seront les coordonnées du milieu Q de la corde réelle de la conjuguée, menée par le point M, c'est-à-dire OS et SQ, et que leurs parties imaginaires seront les différences des coordonnées des points Q et M, c'est-à-dire — QI et IM, de sorte que
