X = OS — 01 V
Fig. 8.
et
;y = SQ-f IM v^— 1.
Cela posé, comme
NP=rsinçp, OP=cos(}», MQ y/^ = sm<f v^^,
enfin
OQ = cos>{/ yj—i,
les triangles semblables OQS et ONP d'une part, OQS et MQI de l'autre donneront
^o /. \ ..T sin co sin (4' v/ — 0
OS = coscp cos (^ V— -l), QI = '■ ==2=r^^ -,
ne • /i / — 7\ Ti»»' coscpsinUy' — 0 QS = sm© cos [<\> y' — Ij. IM = ^ -^^-^ i,
d'où
:f ~ cos çp cos (<^ \/— l) -^ sin cp sin (<\> \J— i) — cos [<s^ -\- ^ \/— l) et
y = sin <p cos [^ \l — l) -f cos <p sin ('|/ y/ — l) = sin (tf + 'I' V — v-
La règle à suivre pour construire l'angle imaginaire dont on donne le sinus ou le cosinus, ou toute autre ligne trigonométrique, se déduit immédiatement de ce qu'on vient de voir.
La droite qui va du centre au point dont les coordonnées sont les parties réelles du sinus et du cosinus donnés, fait avec le diamètre origine un angle égal à la partie réelle de l'angle cherché, et le point de rencontre de cette droite avec la circonférence est le sommet de l'arc d'hyperbole qui doit servir de base au secteur dont l'aire doublée sera la partie imaginaire de l'angle cherché ; enfin les parties imaginaires du sinus et du cosinus donnés, ajoutées aux parties réelles des mêmes lignes, fourniront les coordonnées de la seconde extrémité de l'arc hyperbolique en question.
La partie imaginaire ^ y/ — 1 de l'angle ? + 'l' v' — 1 ^^ compte comme la partie réelle de droite à gauche ou de gauche à droite, selon qu'elle
est positive ou négative. De sorte que les deux angles ^-\-'^ y/ — 1 et
cp — ij; y/ — 1 sont les inclinaisons, sur l'axe des x^ des rayons menés aux extrémités d'une même corde réelle de la conjuguée dont l'axe transverse fait avec l'axe des x l'angle réel ç, ou dont la caractéris-
tique est — — ^- . .
tang (f
A.NGLES LMAGLNAIRES AL CENTRE DU CERCLE RÉEL. 237
On retrouve aisément sur la figure les formules analytiques des angles qui correspondent à une ligne trigonométrique donnée. Ainsi à un sinus y correspondent, en vertu de l'équation y- -\- x-=\.y deux cosinus X égaux et de signes contraires; or la partie réelle de x changeant de signe, l'angle ^, d'après la règle énoncée, se change en r. — ©; d'un autre côté, la partie imaginaire de x changeant de signe
en même temps que la partie réelle, 4 V — ^ se trouve changé en — .J; y' — ^ , de sorte que l'angle devient
OH
^ (^ + .^ ^/ZT).
Ainsi tous les angles qui répondent à un même sinus sont donnés par les formules
et
Le mode de représentation que nous proposons pour les angles imaginaires est donc aussi fidèle que propre à faire image. La formule
cos^ VI V— 1) = V f-
sVi' s— ij
cos • ' ■' " ' « ■ — - '
fournit une construction simple de la bissectrice du secteur hyperbolique. De même la formule qui donne cos (m -^ y — 1) en fonction de cos ('j' V — 0 pourrait être employée à la répétition d'un secteur hyperbolique. Mais il est important d'observer que, bien que dans l'addition des angles imaginaires les secteurs imaginaires se comptent les uns à la suite des autres, cependant le secteur hyperbolique propre à figurer un
angle imaginaire -J/ V — 1? considéré isolément, ne peut jamais être compté à partir d'un rayon incliné sur l'axe transverse de l'hyperbole à laquelle ce secteur doit appartenir; l'origine de l'arc d'hyperbole qui correspond à un angle imaginaire isolé est toujours l'un des somnlets de cette hyperbole.
La tangente d'un angle imaginaire sans partie réelle ne peut
croître que de — y — ^ à -f- y — 1> lorsque l'angle lui-même croît de
— X y — 1 à -j- X y — 1, L'inclinaison réelle qui correspond à un
angle imaginaire ± 00 y^ — 1 n'est que de ± - ou ± 45°.
L'inclinaison réelle |jl correspondant à un angle imaginaire <^yj — 1 serait fournie par l'équation
tang (<]> \J— l) = V— 1 tang [x, qui donne
d'où l'on tirerait facilement y. en fonction de ^.
Mais le but que nous nous proposons est de faire intervenir directement l'angle imaginaire dans la solution de toutes les questions qui en exigent l'emploi, sans retourner jamais à l'angle réel correspondant.
Des tricmgles imagmaires en général.
254. La manière la plus convenable, parce qu'elle est la plus générale, de définir un triangle quelconque, réel ou imaginaire, est de donner les coordonnées de ses trois sommets.
\x\y'\ [x",y"], [x"',y"'] désignant les coordonnées des trois sommets, d'un triangle rapporté à des axes quelconques, faisant entre eux un angle ô, les mesures des côtés de ce triangle seront pour nous, par définition,
V'(^' a;"y- + {y' - ff -f 2 [x - x") {y' - y") cos ô,
■ ^(^.' ajj -! (y y'y + 2 (x' - X") {y' - y'") cos 6 et
sl{x" - x"J + (/ - y"J + 2 {x" - x'") {f - y'") cos 6 ;
les angles de ce triangle pourront être fournis, par exemple, par les formules
a^ = b^ -\- c^ — ^bc cos A,
h- = a} -\- c- — 2ac cos B,
c- = a"- -\- b'^ — 2ab cos C,
qu'on pourrait remplacer, en tout ou en partie, et à volonté, par
abc sin A sin B sin C '
ou toutes autres formules qui s'en déduiraient.
ANGLES IMAGINAIRES AU CENTRE UU CERCLE RÉEL. 239
La surface sera
\lp{p — a){p — b){p — c);
et de môme, tous autres éléments constitutifs du triangle, tels que hauteurs, bissectrices, médianes, etc., seront fournis par les mêmes équations qui les donneraient dans un triangle réel.
La question ne consistera donc pas dans la détermination des éléments inconnus d'un triangle suffisamment défini, ou dans la résolution analytique de ce triangle, puisqu'elle se bornerait dès lors à la répétition de calculs déjà faits dans l'hypothèse de triangles réels: elle sera de donner à chacune des équations qui devraient entrer dans le calcul un sens précis et intelligible, qui fournisse l'expression de la condition graphique, correspondante, à laquelle devraient satisfaire les inconnues; de manière qu'il suffise ensuite de rapprocher les trois conditions propres à chaque groupe de données pour en déduire la règle à suivre dans la construction effective du triangle inconnu.
25o. Mais la question même supposant la démonstration préalable de ridentiXé permanente du triangle et de ses éléments, nous devons d'abord établir cette identité. .
Or, en premier lieu, si les a.xes viennent à changer d'une manière quelconque, les coordonnées nouvelles des trois sommets du triangle, tirées des formules vulgaires de transformation, fourniront toujours, on le sait, les trois mêmes points du plan-; ce qui suffit pour établir l'identité graphique du triangle imaginaire, aussi bien que réel.
D'un autre côlé, aucune transformation de coordonnées ne pourra jamais altérer les expressions algébriques ni des côtés, ni des angles, ni de la surface, ni de tous autres éléments du triangle, quelles que soient les données qui le déterminent.
Parce que d'abord l'identité de la chose, qui va de soi quand cette chose est réelle, entraîne nécessairement l'identité analytique de la formule qui la représente, dans un mode quelconque ; et qu'il suffit d'ailleurs de savoir que cette identité analytique subsiste pour toutes les valeurs réelles des variables contenues dans la formule, pour pouvoir affirmer qu'elle ne serait pas troublée par l'attribution à ces variables de valeurs imaginaires.
Il résulte de ce qui vient d'être dit que, quel que soit le triangle que nous ayons à étudier, nous pourrons toujours choisir les axes à volonté, sans risquer d'altérer la question en quoi que ce soit.
256. Gomme nous l'avons dit précédemment, la définition des éléments inconnus d'un triangle imaginaire se trouve dans les formules mêmes qui doivent fournir ces éléments el qui les donneraient dans le cas analogue d'un triangle réel ; il est donc bien entendu que ce sera toujours de ces formules qu'il faudra se servir pour résoudre le triangle
proposé, mais l'usage à en faire doit être réglé par une restriction indispensable.
La plupart des formules de trigonométrie rectiligne attribuent en effet le double signe ± à toutes les inconnues qu'on en veut tirer. L'espèce d'ambiguïté qui en résulte ne présente aucun inconvénient lorsque le triangle doit être réel ; mais elle subsisterait d'une manière fâcheuse dans le cas d'un triangle imaginaire, si l'on ne prenait soin de définir plus exactement cette figure.
De quelques formules qu'on se soit servi pour résoudre un triangle, il conviendra toujours de soumettre les résultats à la condition de vérifier les formules
sin A sin B sin C
abc A -f- B +C = Tr.
Si l'indétermination n'est pas alors complètement levée, elle n'affectera pas du moins chacun des éléments en particulier : elle portera sur tout le triangle.
En effet, si d'abord on donne deux angles et un côté, dans ce cas la condition A -|- B -|- ^ = '^ déterminera le troisième angle sans ambiguïté ; dès lors les numérateurs des rapports
sin A sin B sin G
, —}— et
au c
étant connus ainsi que l'un des trois dénominateurs, les deux autres seront absolument déterminés.
Si l'on donne deux côtés et l'angle compris, on connaîtra la somme des deux autres angles, et, à la vérité, on pourra partager cette somme d'une infinité de manières en parties dont les sinus soient proportionnels aux deux côtés donnés, mais ce ne pourra être qu'en ajoutant un multiple quelconque de tt à l'un des angles inconnus et retranchant le même multiple à l'autre. Quant au troisième côté, il changera de signe ou repre'ndra son signe primitif, selon que l'on aura ajouté à l'un des angles inconnus et retranché à l'autre un multiple impair ou pair de tt.
Si l'on donne deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, les deux termes d'un même rapport étant déterminés, ainsi que le dénominateur d'un second rapport, le numérateur de ce second rapport sera complètement déterminé, mais les deux angles inconnus pourront encore être l'un augmenté, l'autre diminué d'un même multiple de tt : par suite le troisième côté pourra changer de signes
Enfin si Ton donne les trois côtés, pour que les égalités
sin A sin B
ANGLES IMAGINAIRES AU CENTRE DU CERCLE REEL
restassent satisfaites, on ne pourrait qu'augmenter l'un des trois angles d'un multiple de 2-, en diminuant les deux autres d'autres multiples de 2-, qui formassent la même somme.
257. Les observations que nous venons de présenter conviennent à toutes les hypothèses ; mais nous nous bornerons ici à étudier le cas où les triangles en question, bien qu'imaginaires, seraient définis par des données réelles.
238. Les deux premiers cas, où l'on donne soit un côté et les deux angles adjacents, soit deux côtés et l'angle compris, ne pouvant alors fournir de valeurs imaginaires pour les autres éléments du triangle, nous n'aurons pas pour le moment à nous en occuper.
Dans le troisième cas, où l'on donne deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, le triangle peut être imaginaire.
Soient CAD {fig. 9) l'angle donné, AC = b celui des côtés donnés qui doit être adjacent à l'angle A, CD la perpendiculaire abaissée de C sur AB, enfin CE = a celui des côtés donnés qui doit être opposé à l'angle A.
Le côté CE, qui doit être opposé à l'angle A, étant moindre que la perpendiculaire CD, le triangle sera impossible.
Les formules
♦ a^ = b' -\- c^ — 2bc cos A
et
sin G sin A
donnent
c= b cos A zt: v «' — ^" sin- A
et
sin c ==- sin A cos A ± sin A 1/1 r
y yy/
"xS
sin- A
Vig. 9.
sin C étant composé d'une partie réelle
et d'une partie imaginaire , il en sera
de même de G. Nous commencerons par déterminer la partie réelle
de G. Pour cela, nous retrancherons de cet angle un angle réel q tel,
que sin (G — o) n'ait plus de partie rçelle :
sin (G — o) = sin C cos <p — cos G sin cp ; pour abréger le calcul, nous tirerons cos C de la formule
cos G =
a^-\-b^- 2ab
qui, en y remplaçant c par sa valeur, donne
cos
C = — sin^ AzpcosAV/l sin^ A.
a y cr
En substituant les valeurs de sin G et de cos G, on trouve
sin (G — 9) = - sin A cos A cos cp sin^ A sin «p
± y/ — 1 (sin A cos 9 -[- cos A sin cp) \ / — sin^ A — 1 ;
la condition qui détermine <f est donc
- sin A (cos A cos 9 — sin A sin cp) = 0,
qui donne
Ainsi la partie réelle de G e st- — A ; quant à la partie imaginaire
<l V — 1, elle est donnée par l'équation
sm
^ V/1 = sin(C— cp) = ± V— 1 W-sin^A— i
L'interprétation de ces résultats est facile- à former : La circonférence décrite du point G comme centre, avec a pour rayon, ne coupant plus la droite AB, elle a été suppléée par celle des hyperboles équilatères, de même centre et de même rayon, qui pouvait, comme la circonférence, couper AB en deux points symétriquement placés par rapport à D, c'est-fi-dire par l'hyperbole ayant son sommet en E ; de telle sorte que cette hyperbole coupant AB en B et B', le troisième sommet du
triangle est B ou B', le troisième côté c est AD ±: DB \J — i , l'angle G est
/^^ . ^ secteur GEB / — - AGD ±: 2 \/—i,
• et enfin l'angle B est
<C^ ^ secteur GEB / — -
t: — AGD =p 2 V— 1-
En effet, si nous prenons pour axe des x la droite CD et pour axe des
A?iGLES IMAGLNAIRES AU CENTRE DU CERCLE RÉEL. 243
y une perpendiculaire à CD, au point G, l'équation de l'hyperbole dont il s'agit sera
y^ — x^ = — a*, d'un autre côté, l'équation de AB sera
X = b sin A,
BD sera donc égal à v^^^sin* A — a^; ainsi, puisque
c = 6 cos A ± sja^ — h^ sin* A,
sa valeur est bien AD ± BD y — 1 ; quant à l'angle C, nous avons déjà vu qu'il a pour partie réelle ACD, et que le sinus de sa partie imagi-
