Ainsi, bien que l'équation

représente une infiiîité de droites, la recherche des angles que ces droites font avec l'axe des x, instituée comme elle vient de l'être, ne fournirait que les angles

A-:: -I- ? + ^ y/rr,

auxquels il ne correspondrait, dans le cercle réel, conformément à ce qui a été dit dans le chapitre précédent, que deux directions opposées, qui, par conséquent, ne se rapporteraient qu'à une seule droite. Cette droite du faisceau

y=(rn-\-n s^-i) x,

dont l'angle avec l'axe des x se trouve défini dans l'équation

tang (<p -f- ^ V — l) = ""^ + ^* V — 1 >

peut être aisément distinguée des autres : c'est l'une des asymptotes communes aux deux hyperboles conjuguées de l'ellipse nulle

{y — mxY + nV = 0,

qui ont les mêmes axes de symétrie qu'elle. En effet, si l'on rapporte le lieu

y=[^m-\-n V— l) x = x tang [^-\-^ y/— l)

aux axes de l'ellipse

[y — mx)' -f- f^'x^ = 0,

d'une part, l'équation prendra la forme

et de l'autre l'angle o -|- J; \/— 4 n'aura dû être altéré que par la soustraction de l'angle réel dont on aura fait tourner l'axe des x.

On voit par là : 1° que l'angle © devait être l'inclinaison sur l'axe des x de l'un des deux axes de symétrie de l'ellipse

{y — mxf -f- n^x^ = 0, ce qui explique pourquoi l'on a trouvé pour ç les valeurs

^'TC -j- cp et ^''^ "f" Q 4" <f ;

2° que si l'on a pris pour nouvel axe des x le grand axe de l'ellipse

{y — mxf -|- rrx^ = 0,

n' étant alors moindre que 1, n'y/ — 1 pourra être la tangente d'un angle imaginaire sans partie réelle, qui dès lors ne différera pas de

Enfin comme l'angle réel (x qui correspond à un angle imaginaire <]) y — 1, sans partie réelle, est défini par l'équation

tang (<^ \/— l) tang (X = — ^^= i,

la direction cherchée sera en définitive

y = — . X =nx,

c'est-à-dire qu'elle coïncidera avec celle de l'une des asymptotes de Thyperbole

construite sur les axes de l'ellipse

(y — mxy -f~ ^^-^^ = 0-

242 II convient toutefois de signaler ici une exception remarquable aux conclusions portées dans les deux numéros précédents. Si à l'ellipse

{y — mxy -j- nV = 0

on substituait le cercle

ce cercle ayant une infinité de systèmes d'axes de symétrie rectangulaires, la droite du faisceau

y = sj^ X,

à laquelle s'appliqueraient les résultats des calculs précédents, deviendrait indéterminée; ou plutôt, les conclusions précédentes convenant

également bien à toutes les droites du faisceau, Tangle ç.-f-'j' \— i, fourni par le calcul, devrait donner l'inclinaison, sur l'axe des x, d'une quelconque des droites du faisceau.

C'est en effet ce qui est : l'équation

tang (o "h «^^ V'— l) = '" + ^ s/ — ^ se décompose en

n \f—-i tang ç . tang [^ sj — l) -f- tang ç — ??i = 0 et

m tang © tang (■} \J—i) -\- tang {'^ \/ — l) — n y/ — 1=0, qui, si l'on y fait m-=Oetn = 1, donnent

tang (<|; V^) = V^^

et

tang<p = -,

ce qui s'accorde avec les prévisions énoncées : l'angle <]^ y/ — 1 est infini, il correspond à 45° réels et l'angle ç reste complètement indéterminé. L'angle ® + "]> y — 1 que -donne le calcul convient donc à l'inclinaison sur l'axe des x d'une quelconque des droites du faisceau.

Cette exception est remarquable en ce que la question qui nous occupe, de représenter les inclinaisons sur l'axe des x des droites qui composent un même faisceau, se trouve ainsi capable d'une solution complète, sans l'intervention d'aucun artifice nouveau, quand il s'agit d'un faisceau circulaire

y=sl—\x, tandis qu'elle ne pourra être résolue pour un faisceau elliptique

y=[m-\-nsl— l) X,

qu'en employant de nouveaux moyens.

Quoi qu'il en soit, l'angle que fait avec l'axe des x la droite du faisceau

y = si— 1 X,

dont la caractéristique est C, se trouve représenté par

cp-fxV— 1,

(p désignant l'angle dont la tangente est — -, ou l'angle que fait avec

l'axe des x le diamètre transverse de la conjuguée du cercle que rencontre la droite considérée.