On pourrait regarder le faisceau elliptique
comme la projection d'un faisceau circulaire,
y = y— 1 Xj
tracé dans un plan oblique au plan des coordonnées, et qui, le coupant suivant le grand axe de l'ellipse
{y — mx)^ -\- n^x^ = 0,
ferait avec lui un angle ayant pour cosinus le rapport du petit au grand axe de cette ellipse.
Cette manière de concevoir le faisceau elliptique suffirait à la représentation graphique; mais je ne pense pas qu'il soit possible d'en tirer la formule de l'angle d'une quelconque des droites qui le composent, avec l'axe des x.
244. Ce qui particularise l'angle imaginaire défini par l'équation
tang (<ï> + 4* V~^ i) = m-\- n y — 1, et en restreint l'appartenance à une seule droite du faisceau
y =z\rn -\- n y — l) x, c'est évidemment qu'il est pris dans le cercle réel
y'^-\-x^ = i', et, en effet, le faisceau
ne coupant le cercle
qu'en deux points diamétralement opposés, l'angle cp -f <]^ — 1 défini par l'équation
tang (<p + ']' sf^) = (rn-\-n \f^\),
A.NGLES AU CENTRE Di CERCLE IMAGINAIRE. 251
ne pouvait être que l'angle avec l'axe des x du diamètre qui passe par ces deux points.
C'est, au reste, ce que l'on vérifiera aisément en constatant que les points de rencontre dont il s'agit, appartiennent effectivement à la droite du faisceau à laquelle convient l'angle trouvé.
Si l'on suppose qu'on ait pris pour axe des x le grand axe de l'ellipse
(y — mx)- -\- n^x^ = 0,
l'équation de ce lieu sera devenue
y^ -}- n"-x^ = 0, où n'2 sera moindre que 1 ; l'équation du faisceau sera donc alors
y = n' \l—\. x; quant à l'équation du cercle réel, elle sera restée
fJ^x' = i;
mais d'ailleurs les points de rencontre du faisceau avec le cercle n'auront point changé.
Or les coordonnées actuelles de ces points seront
et
et représenteront le point
r — Il —
VI— n'* \\ — n''
qui appartient bien à la droite
y = rix
du faisceau, à laquelle se rapportait, comme on l'a vu.
l'angle
o -\- ji V — 1.
24o. Ce qu'on vient de dire montre clairement ce qu'il y a à faire pour comprendre indifféremment, dans le calcul, toutes les droites d'un même faisceau
la méthode devra évidemment consister à substituer au cercle réel
un cercle imaginaire
où r et r' puissent être déterminés de manière que les points d'intersection de ce cercle imaginaire et du faisceau
y =. \m -\- n V — l) Xy appartiennent à telle droite que l'on voudra du faisceau.
246. Cela posé, nous devons d'abord compléter la discussion du cercle imaginaire dans le cas où, ayant son centre réel, son équation serait de la forme
{x-af + {y-bf= [r^r' sl^)"
et pourrait, par conséquent, être réduite à
x" + y^ = [r -I- r' sj'^xf^
par un changement d'origine.
L'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu
f + x'=[r^r'sF^\)' est, comme on l'a déjà vu, le cercle
si
a? = a + ^ V— 1 et
sont les coordonnées d'un point de cette enveloppe, a, a, p et p' satisferont aux équations
«2 + a'^ = r\ ^^ 4- p = r"et
A>oLt> AL CE.MHK UL ttKLLt I.MAbl.NAlKL. 253
Les deux points où la conjuguée C touchera l'enveloppe seront donc aux extrémités de son diamètre couché sur la droite y = Cx.
Toutes les conjuguées du lieu étant égales et superposables, puisque l'équation ne change pas lorsqu'on fait tourner les axes d'un angle quelconque autour de l'origine, il suffira de discuter, par exemple, celle qui a ses abscisses réelles.
Si l'on ne donne à x que des valeurs réelles, celle de y pourra s'écrire
y = }/)-^ — r- — X- -h ^rr' \'— i ,
+ -^ \f^ \/\{r' — r* — J^Y + Ai^r'*- — {r' — r' — x').
Les deux radicaux devant être affectés du même sigae ou de signes contraires, suivant que r et r' seront eux-mêmes de même signe ou de signes contraires.
La courbe est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées ; elle touche l'enveloppe aux extrémités de son diamètre dirigé suivant l'axe des y, puisque sa caractéristique est infinie; d'ailleurs, en faisant x=0, on trouve
Le faisceau des asymptotes de toutes les conjuguées étant représenté par l'équation
celles de la courbe qui nous occupe se confondent donc avec les bissectrices des angles des axes.
La figure de cette courbe changç considérablement lorsque change l'ordre de grandeur de ;** et de r'-. En effet, le rayon de courbure de la courbe au point où elle touche son enveloppe est
d'ailleurs les deux courbures sont de même sens ou de sens contraires^ suivant que r^ est plus grand ou plus petit que r'^.
Lors donc que r'* est plus grand que H, la courbe tournant sa convexité à l'enveloppe, s'éloigne peu de la figure de l'hyperbole équilatère qui toucherait l'enveloppe aux mêmes points ; toutefois elle embrasse cette hyperbole, car son rayon de courbure
est toujours plus grand que celui de l'hyperbole qui est
dz (r + /),
En effet, si r' est positif, comme il est plus grand en valeur absolue que r, les deux rayons de courbure sont
— ; et r' 4- r:
si, au contraire, r' est négatif, il faut prendre pour les deux rayons de courbure les formules
^ et -{r + r');
dans Tun et l'autre cas le premier est plus grand que le second.
Au contraire, lorsque r^ est plus grand que r% la courbe et l'enve- . loppe, au poiitt où elles se touchent, ont leurs courbures tournées du même côté. Au reste, le rayon de courbure de la conjuguée est toujours plus grand que celui de l'enveloppe, puisque ce dernier est encore ±(r-)-r').
On peut vérifier aisément de la manière suivante ces indications de la théorie. Pour savoir si la courbe coupe ou non ses deux tangentes y = ± (r -f- r'), posons
y = y r- — r'^ — x^ -\- '2rr' y — i = z -\- u s/ — 1,
les X des points de rencontre cherchés seront dès lors fournis par les équations
z^ — u^ = r- — r"^ — x"^, zu = rr' et
Or, les deux dernières donnent
z = r et ^^ = r',
ou bien d'où résultent ou bien
2 = r' et M = r, x^ = 0,
On voit donc que la courbe ne coupe sa tangente y = r-\-r' que lorsque r^ est plus grand que r'^.
On peut encore remarquer que le rayon de courbure de la courbe, au point où elle touche l'enveloppe, devient infini lorsque r = r'. Mais cette condition suppose r et r' de même signe, de sorte que r et r' variant d'une manière continue, si r* dépasse r'^ dans un sens ou dans l'autre, le sens de la courbure de la courbe au point où elle touche son enveloppe, change dans tous les cas, mais avec des circonstances différentes, suivant que r et r' sont alors de même signe ou de signes contraires. Dans le premier cas, le rayon de courbure devient infini au moment où la courbure change de sens, tandis qu'il reste fini à ce moment dans le cas contraire.
' Pour se rendre compte de cette singularité, il suffira d'observer que dans le dernier cas, l'enveloppe s'étant trouvée momentanément réduite à un point à l'origine des coordonnées, les branches supérieure et inférieure de la conjuguée se sont rapprochées jusqu'à se toucher en ce point, ensuite de quoi chacune d'elles continuant son mouvement, le point de contact de celle qui touchait l'enveloppe au-dessus de l'axe des x passe au-dessous, et réciproquement; de sorte qu'en réalité la courbure de chacune des branches reste tournée du même côté, comme cela devait être.
Lorsque r^ est plus grand que /^ la courbe affecte deux formes entièrement différentes, selon que ;• et r sont de même signe ou de signes contraires.* Dans le premier cas, les parties gauche et droite de la branche qui touche l'enveloppe au-dessus de l'axe des x, après être descendues au-dessous de la tangente menée à l'enveloppe au point de contact, remontent sans couper l'axe des x et prennent pour asym ptotes les parties supérieures des bissectrices des angles des axes, tandis que dans le cas contraire les mêmes parties coupent l'axe des x et ont pour asymptotes les parties inférieures des bissectrices des angles des axes.
On vérifie ces indications, que la condition de continuité impose suffisamment, en cherchant les points de rencontre de la courbe avec l'axe des x.
Si l'on pose, comme précédemment,
y = z-{-us'—i,
