CONSTRUCTION PAR POINTS DES CONJUGUÉES

appartiendra à l'une des conjuguées de la conjuguée C du lieu f{x, y)^0. En effet, les équations du problème devaient nécessairement comprendre les deux équations renfermées dans

/•(a 4- p \f^^, a' -f se yf^i) = 0. Or ces deux équations, jointes à

donneraient, par l'élimination de a, ^ et a, l'équation de la conjuguée C en coordonnées réelles, c'est-à-dire

mais a, f> et a ayant les valeurs imaginaires supposées plus haut, celles de X et de ^ seront

y=r'+C<r-f(6'-f-Cp)v/-l,

et formeront une solution imaginaire de l'équation

/,{x,y) = 0; cette solution réalisée sous la forme

X, = T-f-6-|-<7-fp

yi = ^'+^' + G(7-i-p)

représentera un point de l'une des conjuguées de f^ {x, y) = 0, c'est-àdire de la conjuguée C de f{x, r/)=0.

La caractéristique de cette conjuguée seconde sera au reste

e' + Cp

La théorie des conjuguées du premier ordre pourrait ainsi s'étendre d'ordre en ordre sans difficultés. Nous n'avons pas Tintention de lui donner une pareille extension, qui serait sans utilité immédiate ; mais comme la pratique fournit d'elle-même des exemples auxquels il faut bien appliquer la méthode d'interprétation qui vient d'être indiquée, nous avons cru devoir en dire au moins un mot.

24. Nous construirons, comme en géométrie plane, le point correspondant à une solution imaginaire quelconque d'une équation à trois

variables, en remplaçant le signe y— 1 par 1 dans les valeurs trouvées pour ses coordonnées. La position du point ainsi obtenue sera indépendante du choix des axes, c'est-à-dire que le même point sera toujours fourni par la solution primitive et par cette solution transformée en raison d'un déplacement quelconque des axes; car les formules qui servent à passer d'un système à un autre dans l'espace, sont linéaires comme celles qui servent à effectuer le même passage dans un plan, et c'était là en définitive la raison de la permanence du point obtenu. La vérification du fait est d'ailleurs facile à faire. En effet, si les formules correspondant à la transformation effectuée sont

x' = a •\- mx -\- ny -\- pz^

deux solutions correspondantes, ancienne et nouvelle, seront :

x'= a -{■ ma + m' -f pa" + (m^ -f n[i' + p^") \/^i , y = 6 4- m'a + n'a + p'a!' -f (m'^ -f w'[i' -f p'f) sj'^i , 2' = c + w"a -f n"a'-f //a" + {m"[i -f n"^' ^py) V^,

les points réels qui y correspondront auront donc pour coordonnées anciennes et nouvelles

( a-j = a -f fà,

Ces deux points coïncideront donc.

Il est au reste facile de voir que ce mode de construction est, comme en géométrie plane, le seul qui assure la permanence des lieux représentés par là même équation modifiée à la suite d'une transformation arbitraire de coordonnées.

En effet, pour que le point représenté par une solution imaginaire

^=a+^V-^, 2/ = «' + fi' V'-l, s = a" + ^"V^^

reste fixe dans l'espace, quelque transformation qu'on fasse subir aux axes, il faut notamment que sa projection sur le plan des xy reste la même, quelque transformation qu'on fasse subir aux axes des x et des y, dans leur plan, sans changer la direction de l'axe des ;;. Il faut donc que les coordonnées de cette projection du point soient réalisées par

X, = a -h fi et y, = a + ^'.^

Mais ^a règle relative à l'ordonnée z devant être la même que celle que l'on adopte pour x et y, le z du point représentatif de la solution devra donc être

2o. Quant aux conjuguées de la surface réelle représentée par l'équation proposée, nous formerons chacune d'elles de la réunion des points correspondant aux solutions de cette équation dans lesquelles les rapports des parties imaginaires de z et de x, de - et de y seraient des nombres constants C et C ; ces rapports seront les deux caractéristiques de la conjuguée correspondante.

Il est facile de voir que les solutions de l'équation proposée dans lesquelles z seulement serait imaginaire, se changeraient, par suite d'une transformation d'axes, en d'autres dans lesquelles les rapports des parties imaginaires de z et de x, de - el de y seraient constants; et que réciproquement on pourrait rendre réelles par rapport à j: et à y, en dirigeant convenablement l'axe des ::, toutes les solutions dans lesquelles les parties imaginaires des trois variabl'es seraient dans des rapports constants.

En effet, en premier lieu, si x et y sont réels, les formules précédentes donneront

x'= a-\- moi + wcc' -f- p-x" -{- p'^" yj— 1, y = b -\- m'oi + nV -|- pW -f- p'^" V — i,

z' = c-i- m"a -|- n"a' + p"<x" + p'^ yj'^ ,

en sorte que les parties imaginaires de s et de ar seront dans le rapport constant

et les parties imaginaires de :; et de ?/, dans le rapport constant

P En second lieu, si l'on suppose

les mêmes formules montrent que pour que x' et y' deviennent réels, il suffira que

Ces deux conditions détermineront la direction du nouvel axe des z, sans d'ailleurs assujettir les nouveaux axes des x et des y à aucune obligation. Car si l'on avait une fois rendu réelles les abscisses et les ordonnées d'une conjuguée, toute nouvelle transformation oii l'axe des z ne subirait aucun nouveau déplacement laisserait toujours réelles les jibscisses et les ordonnées de cette même conjuguée.

Les rapports G = — et C = — • définissent une conjuguée et la déterminent,

26. Les conjuguées d'une surface seront donc toutes les surfaces qu'on obtiendrait en donnant successivement à l'axe des z toutes les directions possibles et construisant, pour chacune d'elles, les valeurs imaginaires de z qui correspoiidraient à des valeurs réelles de x et dey.

Chaque conjuguée touchera la surface réelle suivant son contour apparent, parallèlement à la direction qu'il faudrait donner à l'axe des z pour rendre réelles les abscisses et les ordonnées de cette conjuguée ; la surface réelle sera donc l'enveloppe de ses conjuguées.

Si la surface réelle n'avait pas de tangentes parallèles à la direction qu'il faudrait donner à ï'axe des z pour rendre réelles les abscisses et les ordonnées de la conjuguée considérée, et que toutes les parallèles à cette direction coupassent la surface réelle en un nombre de points égal à son degré, la conjuguée en question n'existerait pas.

Si ces mêmes parallèles coupaient la surface réelle en un nombre de points inférieur à son degré, la conjuguée considérée existerait bien, mais ne toucherait plus la surface réelle.

DES SURFACES DUGINAIRES. 25

27. On verra plus loin que les conjuguées d'une surface, qu'elles la touchent ou non, ont généralement une seconde enveloppe imaginaire ; mais cette seconde enveloppe différera essentiellement de l'enveloppe réelle en ce que chaque conjuguée ne la touchera généralement qu'en un nombre limité de points.