Si X et y désignent les coordonnées d'un point du lieu
x^ = et y, =
satisferont à l'équation
et seront le cosinus et le sinus d'un angle défini analytiquement et géométriquement, 9 + l' V— 1 •
Nous avons regardé l'expression 9 + "f V — \ comme représentant l'inclinaison sur l'axe des x du rayon mené de l'origine au point [x^, y^]. Nous regarderons de même l'expression
(r + r \~if (? 4- ^ V— 1) = <I> + ^' V--Ï
comme représentant l'inclinaison sur Taxe des x du rayon mené de l'origine au point [jc, y].
Les valeurs conjointes de x et de y déterminent évidemment
O -|- V \j — \ à un multiple près de
et réciproquement.
248. L'anyle <l> -{- W y/ — I est déjà défini géométriquement, d'unr
manière indirecte, par sa relation avec l'angle (? + <]> v — ^ 5 ^^^^ ^°'^* allons voir qu'il comporte par rapport à la conjuguée du cercle
sur laquelle se trouve le point correspondant [x, y\ et, par rapport à l'enveloppe, une définition directe, analogue à celle que nous avons donnée dans le chapitre précédent de l'angle cp -|- 4" V — 1 tracé au centre du cercle réel.
Nous supposerons d'abord que le point [x^ y] appartienne à la conjuguée G= 0 du lieu, qui touche l'enveloppe aux extrémités du diamètre couché sur l'axe des x : les autres cas se ramèneront aisément à celui-là, puisque, pour effectuer le passage, il suffira de faire tourner les axes d'un angle réel, autour de l'origine.
Supposons que le point [x^ y] appartienne à la portion supérieure de la branche de droite de la conjuguée G =0; soient M ce point, P le pied de son ordonnée, A l'extrémité droite du diamètre horizontal et 0 le centre de l'enveloppe.
L'intégrale
dx ^{r + r' v/— \ f — xest
l(,.+,Vrï)T^t/l/L=y a,.ecos--i=].
2 lr-\-r'\J—l\ \r+rV— 1/ r-\-r'\/—U
si l'on prend pour limite inférieure l'abscisse du point A, c'est-à-dire r + ^' V — 1 , on a donc
__ dx >/(r -f r' \J— l)' — x^
2 [r-|-rV-l V \r-\-r'\l-i) r+r'sf^i}
d'où
arc cos = cp -j- <]; \J — i
. ^____ çyXy \r-\-r'\l — l) — x^
et par conséquent
A.NGLES AL CENTRE DU CERCLE LMAGI.NÀIRE. 259
^"^Kf {r^r'sj^^Vf — x'' étant vée\.^ xKJ {r ^r sf^f —x" en y
remplaçant \j — 1 par 1 (tous calculs faits, bien entendu), représenterait l'aire du triangle OMP ; d'un autre côté
r dx sj{r -\- r' \j— if— x^,
J r+rV— 1
en y remplaçant aussi y — 1 par 1, donnerait l'aire du segment AMP; par conséquent en remplaçant de même y — 1 par 1 dans
•^ J r-f-ry— 1
on obtiendra l'aire du secteur AOM compris entre la conjuguée et les deux rayons OA et OM, de sorte que
^x\J{r -\- r' sf^Af—c^ — f dx \/{r -f r' \/^^' —~7^ 2 J ,-+rV— 1
pourrait être considéré comme l'expression de l'aire du secteur AOM, convenablement décomposée en parties réelle et imaginaire, ce qui permettrait d'écrire
a> + ^" V^ = 2 sect AOM.
Quoi qu'il en soit, la somme <& -j" ^ des deux parties réelle et imaginaire de la quantité 0 + ^ V — !> définie plus haut, est le double de l'aire du secteur AOM.
Pour connaître * et ^, il resterait donc seulement à savoir comment se décompose
Or l'angle
est, par hypothèse, tel que son sinus multiplié par r-^r'yj — 1 se trouve réel, puisque ce produit n'est autre que Vy du point décrivant que l'on suppose appartenir à la conjuguée G = 0. Ainsi ç et »|^ sont liés par la condition que
sin (ç -h «1^ V — ^ ('' + ^' V— l)
soit réel, c'est-à-dire
/ \/ — 1 sin 9 cos ^j^ V — 1 -|- ^ cos 9 sin ^ \/ — 1=0, d'où
tang cp cot <|/ V — i = — ^ — .
Cette relation entre 9 et <]> en fournirait une correspondante entre <î> et W, qui, jointe à
O-i-W = 2sectA0M, achèverait de faire connaître O et W.
249. Supposons maintenant que le point [.r, y] appartienne aune conjuguée quelconque dont la caractéristique sera C = — cot y, ce qui signifie que la conjuguée C touchera l'enveloppe aux extrémités du diamètre incliné de l'angle 7 sur l'axe des x.
On rentrera dans le cas précédent en faisant tourner d'abord les axes de l'angle y autour de l'origine : par conséquent x' et y' désignant les coordonnées nouvelles d'un point M dont les coordonnées anciennes étaient xety, B désignant l'extrémité du rayon incliné de l'angle Y sur l'axe des x, Q le pied de la perpendiculaire abaissée du point M
sur OB prolongé, 9' +4*'^ — 1 l'angle dont le cosinus et le sinus seraient
y = et y\ — ^ :
r -\- r sj — 1 r -\- r \j — i
l'angle 9+4' V — * sera égal à
par conséquent l'angle O -|- Q*" sJ — 1 aura pour valeur
Y {r + r' sf^if + (9 + 4' V^) (^ + r y-ï)'
La seconde partie (9 -|- 4' V — l) \r-\-r' y — l)^ de cet angle se lie au double du secteur BOM parles relations qu'on a établies précédemment,
et, quant à la première, elle représente le produit par {r-\-r\J — i) du double du secteur AOB.
De l'angle dtun faisceau de droites imaginaires avec l'axe des x.
2S0. Ce qui précède suffira pour expUquer la multiplicité des angles correspondants à un même coefficient angulaire.
Quel que soit le point que l'on considère du lieu
on trouve que — — et . sont toujours le sinus et le cosinus du
même angle ? + 4* V^ — ^ \ xim:i ce résultat doit être interprété en ce ;ens que , quel que soit le point [jc, y\, le rapport à (x* + y"-) de
l'angle 4>-|-^' V — 1> que fait avec l'axe des x le rayon du cercle décrit de l'origine comme centré, auquel appartient le point [x, y\ donne
toujours la même quantité o + 4' V — 1 • quant à l'angle <t» -f- *!'* V — ^ > il varie avec le rayon de ce cercle, par conséquent avec x et y.
Pour exprimer l'angle avec l'axe des x d'une droite quelconque du faisceau
ayant pour caractéristique C, il suffira d'exprimer en fonction de C le rayon du cercle sur lequel se trouve un des points de cettedroite.
Nous supposerons d'abord, pour simplifier le calcul, que le faisceau
ait son équation réduite à la forme y = ny — 1 ; on rentrera ensuite dans le cas général au moyen d'une transformation de coordonnées. Soit
une solution de l'équation
on aura :
d'où
et par suite.
n^ et JsC = na,
— et a =: — - — :
d'oti
= '('+Êv=^> , = „(^'^,„-7),
262 CHAPITRE XVMI.
Le point
appartiendra donc au cercle
f + x^ = c.'^^(G + ns/^l)\
Par conséquent l'angle de la droite C du faisceau
y = n V — -1 X avec Taxe des x, sera
O + W V— 1 = a' ^ ~^ (c + n v/^^' arc tang (n V^^,
cet angle étant pris dans le cercle de rayon
231. L'angle O-f-^y — 1 que l'on vient de calculer contient, comme on devait s'y attendre, un facteur arbitraire a^, mais ce facteur entre aussi dans l'expression du carré du rayon, de sorte que l'angle croît comme le carré du rayon du cercle dans lequel on le prend, comme cela devait être.
Mais il sera souvent préférable de faire disparaître ce facteur, ce que l'on fera en prenant pour unité le rayon r-f-^' de l'enveloppe des conjuguées du cercle au centre duquel on voudra porter l'angle.
Or, d'après la formule précédente,
on exprimera donc les résultats obtenus en disant que la droite C du faisceau
fait avec l'axe des x l'angle
[iu -f- n)
compté dans le cercle de rayon
dont les conjuguées ont pour enveloppe imaginaire le cercle
Si le faisceau considéré se trouvait dans une position quelconque par rapport aux axes, son équation serait
y := [m-^n \/ — i) X = x tang (? -(- •l' V — l) î
l'expression de l'angle avec l'axe des x de la droite C de ce faisceau se tirerait de la formule précédente en substituant à C la tangente de l'angle de la droite y = Cx avec la droite y=xta.ng ç, c'est-à-dire
ce qui donnerait
c — tangtp 1 -f Gtang<p'
r— G — tangi
