Ctangç
+ tang(4;v— l)
(cp + J.v/-l)
G — tango , i /. <,
^ + -=tang(<].v'-i;
14-Gtang!f V— 1
ou en désignant par y l'angle dont la tangente est G,
* + -»■ V'=^ = r tang(,-,)+U.g(.^V-T^X ^ ^ ^-^y
Ltang (y — (p) — V— 1 tang [}^ V— VJ cet angle devant être pris au centre du cercle dont le rayon serait
tang (y — ?) + tang {-b y^^ tang (y — ©) — v' — ' tang (<!/ \/ — l)
De rang le de deux faisceaux de droites imaginaires.
2o2. Le calcul ordinaire appliqué à la recherche de l'angle de deux faisceaux
et
y = U + '* V— i) ^ = tang (? + «j^ V— l) ^ y = (m' -|- rî \j — i) x=. tang (o' -|- ^|^' sf — l) x
ne fournit, pour l'angle inconnu, que la seule valeur
mais à^cette valeur unique correspondent des angles en nombre infini lorsqu'on les recherche au centre de tous les cercles imaginaires dissemblables.
Le résultat obtenu, au reste, pourrait s'interpréter d'une infinité de manières différentes, puisqu'il se rapporte à deux quelconques des droites de l'un et de l'autre faisceau.
Mais il est clair qu'il n'aura de sens net, qu'autant qu'on le rendra relatif à des droites de Tun et l'autre faisceau pouvant couper un même cercle. Or les caractéristiques G et G' de deux droites de l'un et l'autre faisceau remplissant cette condition, seraient liées entre elles par la relation
tang (y — (p) -f tang (4; y^) tang (y' — cp') -f tang {^' V^^
tang(Y — ?)— s/— 1 tang («L \f^) tang (/— cp') — V— Ttang {■V'^—i) ou
tang (y — cp) tang (y — ?')
tang (^ s/^) tang (f v^— l)
Dans ces conditions, y et y' désignant les angles'dont les tangentes seraient G et G', l'angle des deux droites G et G' des deux faisceau sera
Ltang (y — ?) — V— ^ tang (^ V— IJJ
quantité qui se lie, comme on l'a vu précédemment, à l'aire du secteur de la conjuguée considérée comprise entre les deux droites choisies dans l'un et l'autre faisceau.
De l'angle de contingence d'un lieu en un point imaginaire, 235. L'équation
représente le lieu f{x,y) = 0 dans un espace infiniment petit tracé autour du point [x,y] de ce lieu; c'est-à-dire que les droites du faisceau
Y = (m + n y/^) X sont parallèles aux tangentes à toutes les courbes que l'on pourrait
tracer à partir du point [x, y] dans la portion du plan recouverte par les conjuguées du lieu
nx,y) = 0.
Si l'on donne à x un accroissement infiniment petit,
dx = da -\-d^\l—^, il en résulte pour y l'accroissement
dy = im -f- n V^^^ ((/a + rf^ V^HT) =m</a— m^-|-(nrfa + wd%) \/^, et le point [x,y] a décrit un élément parallèle à la conjuguée
nda -j- TTjrfS
du faisceau
dy Si le point [x. y] se déplace infiniment peu, -^ change et devient
^4-^rfxdx^da^ ^'
en posant donc
^ = p + îv/ri,
le faisceau des éléments du lieu devient
y = [w -f- « yCIï j (^ 4 ^ y/ZTT) dx] X,
l'angle de ce nouveau faisceau avec l'ancien est l'angle de contingence du lieu au point [x, y] ; il reçoit son interprétation de ce qui précède.
De la courbure d^un lieu en vn point imaginaire.
2o4. L'angle de contingence défini comme il vient de l'être a pour expression
dx.
266 CHAPITRE xVlII.
Le rapport de cet angle à la différentielle de l'abscisse, et par conséquent à l'expression ds = \/dx^-{-dy^, est indépendant du chemin suivi par le point [a;, y]. Cela ne signifie pas que l'angle que fait le faisceau des éléments du lieu au point [x, y], avec le faisceau voisin reste le même tout autour du point [x,y], mais que le rapport de cet
angle à ds ou \dx^ -\- dy^ reste toujours le même.
Ce rapport est la courbure du lieu au point considéré, et cette courbure reçoit de ce qui précède une interprétation simple.
Transformation imaginaire des coordonnées.
2S5. Si dans une équation f{x, y)= 0 on remplace x par
X -{- a -{- a' \ — i , y it3Lr y -\- b -\- b' \ — 1, et qu'on suppose en même temps l'origine des coordonnées transportée effectivement au point dont les coordonnées anciennes étaient x = a-\-a\y = b-^b', l'ensemble du lieu représenté par la nouvelle équation, rapporté aux nouveaux axes, coïncidera avec l'ancien lieu ; c'est-à-dire que le lieu entier recouvrira les mêmes portions du plan et le même nombre de fois pour chacune d'elles. Mais les conjuguées se trouveront changées; les points d'une des conjuguées du nouveau lieu dériveront en effet par transformation de points pris sur toutes le conjuguées du premier.
La substitution des expressions
X cos a — y sina, et y sina -{- y cos a
à la place de x et de y, dans une équation f{x, y) =0, a pour effet, lorsque a est réel, ou bien de faire tourner les axes autour de l'origine d'un angle a, de droite à gauche par exemple, en laissant fixe le lieu représenté par l'équation primitive, ou de faire tourner au contraire de gauche à droite de l'angle a le lieu en question, en laissant les axes primitifs fixes. Les deux opérations rentrent l'une dans l'autre et servent par conséquent aux mêmes usages.
Dans le cas, au contraire, où l'angle a serait imaginaire sans partie réelle, il serait impossible de considérer la transformation comme revenant à un changement effectif d'axes.
En effet, d'abord le lieu représenté par la nouvelle équation ne sera jamais, sauf un cas particulier que nous examinerons, superposable à l'ancien, c'est-à-dire qu'il ne sera pas seulement transporté, mais en même temps déformé.
D'un autre côté, si l'ouverture effective correspondant à un même angle réel est toujours la même, quel que soit le cercle réel ou imaginaire au centre duquel on place cet angle, ce qui permet de concevoir
sans ambiguïté possible une rotation réelle ; au contraire, l'ouverture réalisée d'un angle imaginaire sans partie réelle dépend essentiellement
du rapport -, qui définit le cercle imaginaire au centre duquel on place
cet angle. D'où il résulte que faire tourner les axes autour de l'origine
d'un angle imaginaire a y — 1 n'aurait de sens clair qu'autant qu'on aurait choisi d'avance, ce qui ne pourrait se faire qu'arbitrairement, le rapport des parties imaginaire et réelle du rayon du cercle au centre
duquel on devrait compter l'angle a y' — 1.
La question posée doit donc ^tre réduite à savoir comment se déduisent l'un de l'autre les lieux représentés par deux équations
f[x,y) = (i et
/ \x cos a \l — 1 — y sin o sf—i, x sin a y^ — 1 -f y cos a sf—i) = 0,
rapportées à un même système d'axes rectangulaires.
Cette question est facile à résoudre.
Si X et y désignent les coordonnées d'un point quelconque du premier lieu et x\ y' celles du point correspondant du second, les relations
X =: x' cos a v^ — 1 — y' sin a sj — i et
y = x' sin a V — ^ -\- y' cos a V— i,
d'où l'on déduit immédiatement
x^-Jrf = x'' + y'\
montrent d'abord que les deux points [x, y] et [x, y'] appartiennent au même cercle imaginaire.
Ainsi chacun des points du premier lieu ne s'est déplacé que sur le cercle imaginaire où il se trouvait d'abord.
De plus, les mêmes équations donnent
l+tangav^ITI
c'est-à-dire
^-^tangay'-l arc tang ^ = « y/ i ^ arc tang ^.
Ainsi le point [a?, y] s'est déplacé sur le cercle qui le contenait de façon que l'angle décrit par le rayon vecteur eût pour mesure constante a y — 1.
Si, dans l'équation
on remplace x et y respectivement par
j?cosa — ysina et .2; sina -j- y cos a,
elle reste identiquement la même, quel que soit a, réel ou imaginaire, composé d'une ou de deux parties, de sorte que le lieu ne subit aucune modification.
Ce résultat s'explique tout naturellement, car tous les points du lieu appartenant au même cercle et chacun d'eux ne décrivant qu'un arc de ce cercle, le lieu des nouveaux points ne pouvait pas différer de l'ancien.
Des coordonnées polaires.
2S6. La règle que nous avons adoptée pour figurer les lieux imaginaires représentés par une équation entre les coordonnées rectilignes d'un point, avait été éprouvée dans trop de circonstances diverses pour que nous ne dussions pas renoncer à l'emploi des coordonnées polaires, tant qu'il serait impossible de retrouver dans une équation
f (p cos tù, p sin 0)) = 0,
les mêmes points qu'avait fournis l'équation
11 eût été absurde d'imaginer arbitrairement un mode de représentation des solutions imaginaires d'une équation en coordonnées polaires, sans se préoccuper de savoir si les lieux que l'on supposerait dès lors représentés par cette équation, coïncideraient ou non avec ceux qu'avait fournis l'équation correspondante en coordonnées rectilignes.
Mais la théorie précédente fournit d'elle-même la règle à suivre dans la représentation graphique des coordonnées polaires, lorsqu'elles cessent d'être réelles.
Il est facile de voir que dans l'équation
f (p cos (I), p sin w) = 0, u) ne doit être regardé que comme la mesure de l'angle que fait, avec
l'axe des x, le rayon vecteur mené au point mobile, l'angle lui-même devant être pris dans le cercle dont le rayon est p.
Moyennant cette manière d'entendre les coordonnées polaires, les lieux fournis par les deux équations
f {x, y) = 0 et / (p cos «j, p sin «) = 0
coïncideront toujours évidemment.
En effet, pour construire l'ensemble des lieux représentés par une équation / {x, y) = 0, on pourrait poser x = p cos w et y =^ p sin a» ;
donnant alors à oj une valeur quelconque <p + <!' y' — 1 , on trouverait , daps le cercle réel de rayon 1, le rayon dont l'angle avec l'axe polaire
serait o -f- ^ \l — 1, les coordonnées de l'extrémité de ce rayon fourni-
raient les valeurs de - et de - , qu'il suffirait donc de multiplier par p
pour obtenir x et y. Or, par cette opération, l'angle s -|- J^ y — * ^e trouverait transporté au centre du cercle de rayon p, et le point [x, y] obtenu appartiendrait à ce cercle.
