Il résulte do ce qui précède que, parmi les équations

(1iH<''i«'iil"u'!lcs (.le la forint"

outre les cas parliculiers clans lesquels l'intégrale est rationnelle ou simplement périodique, il y eu a onze qui donnent naissance à des fonctions nionodromes doublement périodiques, et il n'v en a que onze. Nous rangerons ces onze équations dans l'ordre suivant :

f 2 ) f'Ili] ' ^ G [u - a){u — h) [u — r) {a - d],

\(tZ '

(3) (^'^G(u-a-:„-by,

(5). ("^X = G'u-nYin-b)\

(6) {"liy =G[a-aY{u-bY, ■

(8) [j^] =0{u-ar{u-b;,

( M ) l^y Z3Z G (« - aY [n - by [a - 'cf.

Ces fonctions se distinguent les unes des autres par les infinis. La valeur de l'exposant de v dans l'équation transformée montre que, dans chaque parallélogramme des périodes, les deux fonctions, définies par les deux équations du second de-

IKTÉGUATION l'AU LES lOKCTIONS ILl.l l'TlQl i;> . /)()()

grc, admettent : la première, un infini double; la seconde, deux infinis simples. Les fonctions, données par les deux «'(piaiions du troisième degré, admetlenl : la première, un infini triple; la seconde, trois infinis simples. Les trois fonctions du quatrième degré ont : la première, un infini quadruple; la seconde, deux infinis doubles; la troisième, quatre infinis simples. Enfin, les quatre fonctions du sixième degré admettent : la première, un infini sextuple; la seconde, deux infinis triples; la troisième, trois infinis doubles; la quatrième, six infinis simples.

260. Dans le cas actuel, il est facile de vérifier les (onséqucnces auxquelles nous sommes arri\és: car, la ionclion inverse étant donnée par une quadrature

on reconnait aisément l'existence des périodes eii suivant la méthode que nous avons employée, dans le chapitre m du livre II, pour les équations (i) et ( 2 ). Prenons comme exemple 1 é(|uation (i i) ; si , pour fixer les idées, on suppose qu'à z =0 correspond la valeur initiale u =l o , on aura à étudier 1 intégrale définie

Marquons dans le plan les trois points «, h^ c, et appelons 7

la quantité e ^ ou e '^ " Quand u décrit une petite courbe fermée autour du point a , la valeur de - est multipliée par;- ; de même, quand u tourne autour du point h ou du point c , la ^ aleiu' de - est multipliée par j- ou par;".

Désignons par^(A) le contour élémentaire que 1 on a à con- .sidérer lorsque la variable u va en ligne droite de l'origine o a nn point voisin du point a [fig. 34), puis décrit un petit

.>fO LIVHE VI.

cercle autour du point a^ et revient à l'origine par la nième

ligne droîle. Nous désignerons de même par (B) et (C) les contours élémentaires qui se rapportent aux points b et c. Enfin nous représenterons par A, B, C, les valeurs de Tintégrale définie, quand u décrit chacun de ces trois

contours, U ayant à l'origine la valeur initiale Uq.

Si la variable u décrit successivement, et dans un ordre

quelconque, k fois le contour (A), V fois le contour (B),

A" fois le contour (C), la valeur de - sera multipliée par

y-^z+aA+A" Pq^^p avoir les périodes, il faut prendre les combinaisons (jui ramènent la valeur initiale Uo (n"*239), et par consé(|uent celles pour lesquelles l'exposant 3 A ~f- 2 A' -H k" est un multiple de 6.

On pourrait prendre deux fois le contour (A), ou trois fois le contour (B), ou six fois le contour (C) \ mais dans ce cas la valeur de l'intégrale délinie est nulle. Par exemple, décrire six fois le contour (C) revient à marcher d'abord suivant le chemin rectiligne oc^ puis faire six fois le tour du point c, ce qui

ramène la valeur primitive de - -, et enfin revenir à l'origine

suivant la droite co\ l'intégrale définie le long des petits cercles étant infiniment petite, et les deux chemins rectilignes

parcourus en sens inverse avec la même valeur de - se détruisant, il est clair que l'intégrale totale est nulle.

On revient aussi à la valeur initiale, quand on parcourt successivement les trois contours (A), (B), (C), ce qui correspond à la solution

mais l'intégrale définie est encore nulle. En effet, de l'origine comme centre avec un rayon très-grand, décrivons un ccjcle

lAXlÎGUAïlO l'Ail J.KS lOÎ^CilOiNs II. I 1 1' 1 ;(^) l K> . ,> I l

Cl supposons qui' la variable parcoure d abord un rason, puis la circonférence, et revienne à 1 origine par \v même rayon. Ce contour équivaut à la somme des trois contours élémcnlaiies

pris dans un ordre convenable, et - reprend sa valeur pi i-

milive; Tintégrale le long de la circonférence infininu^nl grande

étant infiniment petite puis(|ue - est un infiniment petit du

second degré, et l(;s deux chemins reciilignes se délruisani. 1 intégrale totale est nulle. On a donc, en supposant les trois points rt, £, o , disposés comme 1 indiipie la figure,

A H- Bj -+- C/ = G.

Comme f = — i , il lésulte de là

A = B -F- Cy%

et le contour élémentaire (A) peut être remplacé par la somme des deux contours (B) et (C). Il suffit donc, pour avoir toutes îes périodes, de combiner les deux contours (B) et (C) . de manière que ili' -{- h" soit égal à 6. Celte éciualion admet les deux solutions

Considérons d abord la solution A^= i, A''= 4 j qui indique une fois le contour (B) et quatre fois le contour (C). On peut parcourir ces contours dans différents ordres : . 1°. D'abord le contour (B), puis quatre fois successivement le contour (C), ce qui donne linlégrale définie, ou la première période

B + C/ -f- Cy^ + Cy + C/ = B — C — Cy == '•> ;

2". D abord une fois le contour (C), puis (B), et ensuite trois fois (C), ce qui donne la seconde période

C + By -H Cy- 4- Cy + Cy ■ = -o / ; 3". D'abord deux fois (C), puis (B), et ensuite deux fois

3l2 LIVRE VI.

C + Cy H- By' + Cf -f- C /= = wy' = oyj — o. ;

4". Daboid liois fols (C) , puis (Bj et ensuite (C ) , ce qui donne

C + Cy 4- Cf + By^ 4- Cy^ =: «/' = — « ;

5". D'aborc! quatre l'oirf ( C), puis (K), ee (|ui donne