Considérons d'abord le cas très-simple où le second
p membre ne contient qu'un seul facteur [u — a)". Si 1 exposant - est inférieur à 1 unité, il doit être de la forme i ;
mais alors l'exposant de v dans la transformée est \ ~\ — : donc * n
l'intégrale est rationnelle et ne devient infinie que pour .s = ce ; c'est une fonction entière du degré n {n"2ol). Si l'exposantest supérieiu' à liinilé. celui de v étant inférieur à l'unité et
devant être de la forme 1 1 il faut que - soit égal à i H — :
la fonction est rationnelle et tend vers a quand z augmente indéfiniment. Si l'exposant - est égal à l'unité, celui de v est
aussi égal à l'unité, l'intégrale est monodrome et simplement périodique.
255. Supposons maintenant c[ue le second membre contienne au moins deux facteurs.
Si le premier exposant - est plus grand que l'unité, il n'y
aura que deux facteurs, sans quoi la somme des exposants surpasserait deux, puisque chaque exposant est au moins égal
3o4 . , . IIVUE VI.
à -• Le second exposant — étant inférieu'; à limité cl de la
forme i ,, l'exposant de u est i -\ — ; — -; étant plus petit
que Funité, il doit être de la forme i ■> d'où
fl — 1 n n'
Il fautifue la somme des deux fractions—, H surpasse Funité;
il n'y a qti'une manière d'arriver à ce résultat, c est de prendre «1= i , alors -= i -H ;• L'intéflfrale est rationnelle. Ou
Fobllcnt aisément par une intégrale binôme. Ainsi l'équation dilïérentielle
admet une intégrale rationnelle, cpiel que soit n. • .
2o6. Quand le premier exposant- est égal à Funité, il ne
peut V avoir que trois facteurs au plus. SU v en a trois, pour que la somme des deux autres exposants lie surpasse pas Funité, il faut prendre—: = i-, = — S'il n'y a tuie deux facteurs, ^ n n 1 j i.
le second exposant peut aussi être égal à l'unité 5 s'il est plus
petit que Funité et de la forme i -,-, pour cpie l'exposant
de V soit de la même forme, il faut prendre i)! = 2. Nous trouvons ainsi trois écpiations dinérenticlles
(lu
dz (la
du dz
g [il — o) \l{u — i>)[n — c), = g {(t — a) [Il — h), . : ., = l^ {" — fi) \j „ ~ h ,
INTÉfJKiTfON l'As. I.E3 KOKCllONS EL J.l l'I IQLES . 3(1.")
qui adincitonl des intégrales inonoili ornes cl simplemeni pci ioniques. On sait intégrer ces équations.
237. Il nous reste rnainl(Miant à cxaminni' le (as où tous les exposants sont inférieurs à 1 unité. Nous remarquons d'aboi d
(pie chacun des exposants étant de la (bruie i et, par conséquent, égal ou supéiieur à -, il est impossible que le second
membre renferme plus de fpiatre facteius, sans quoi la somme des exposants surpasserait 2. Tl n existe même qu'une seule combinaison de quatre facteurs : on l'obtient en prenant les
quatre exposants égaux à -; on a ainsi léiqnation dinérenîiellc
qui admet pour intégrale une fonction monodrome doublebleraent périodique. L'exposant de p-, dans la transformée, étant égal à zéro, la fonction a deux infinis simples dans chaque parallélogramme élémentaire.
Voyons les combinaisons de trois facteurs. Les trois expo-
t,fL,P^^ ^1^1^ r. f , I , I
posaiit de u est
sanis -•>—,'>—:, étant de ta torme i ^i ;,i ,
Pour que cet exposant soit positif, il faut que le plus petit des trois nombres /z, /î', ré' ne surpasse pas 3. Supposant donc ces nombres rangés par ordre de grandeur croissante, nous ne pouvons faire sur le premier dcntre eux n que deux hypothèses, savoir : n = 1^ n = 3.
1". Soif /i = 2 : l'exposant de v se réduit à — H — ;; Pour
11 n rt
que cet exposant soit positif, il faut que le plus petit des deux nombres lé et n!' ne surpasse pas 4 '-, nous pourrons donc faire sur 7?/ trois hypothèses : n'= 2, ^z' = 3 , it1 = 4- Si /î' = x ,
3o() Il \ li K VI .
pniii ([lie ] (î\p(isaiil de r, qui se rccluil à —, > ail la tonne ronve-
nable i •> il faut prendre ii" = 2. Si /i' = 3, l'exposant de f^,
oui esl ici — • — -:■) doit se réduire à zéro; il faut prendre ' // D
/i":=6. Si // = 4^1 f ^posant de »', qui est ici — — -r^ devantea-
cors' se réduire à zéro, ou prendra /i" = (•
2'\ hoit /? = 3 ; 1 exposant de w est — H :, — ^- Four que
cet exposant soit positif", d faut prendre // = 3 , /?"= 3.
Nous trouvons ainsi les (piatre équations dillcrcnlielles
1' dii\* ^ , . , , , , , ,
j — I z= G ( « — a)- [Il — l>? [n — c y,
( — I —G{n — fiy{u — l> )- ( M — Cj\
(pii admettent pour intéi;rales des fonctions monodronies doublement pc'riodiques.
!2o8. Examinons enfin les combinaisons de deux facteurs,
1. exposant de v devient — i ; : cet exposant, ne pouvant dans
le cas actuel surpasser 1 unité, sera égal à Tunité ou de la forme i — — • Pour qu'il soit égal à l'unité, 11 faut prendre Il = fi' = 2; on obtient ainsi 1 équation différentielle
(Iz
qui admet inie intégrale monodrome simplement périodique.
Si l'exposant de i^' esl inférieur à 1 unité et de la forme i »
I^T KGR ATIO.N l'\R I.K3 KO.NCl If ).\ S Tl l.l.Il'TK.t I F.S . ^^)J
il sera égal ou siipciicur à -: il iaiil pour ( cla (|u(; le plus [iclii
des deux nombres ii et n' ne surpasse pas 4: nous ne pouvons
donc faire sur n que les trois hypothèses /z = 2, « = 3, « = 4 •
1°. Soit « =r 2. L'exposant de v devant être de la forme
1 — —5 les deux noml)rcs n' et ii ^ vérifieront l'égalité
- -(- — -z=:i , OU— 7 H = • Un peut satislaire a (Ctlc
in ti. n n^ •?. '-
égalité de trois manières : en pienant fi' = ^^ //,=6, ou n' = 6, /?! = 3, ou n' = 4? /z, = 4-
a**. Soit n= d. Les deux nombres n' et ", doivent vérifier
l'égalité — r H- — = t;i qui admet (\ti\\\ solutions nouvelles,
ou n' = 3, «1 = 3, ou ///= 6, //, zi= 2.
3°. Enfin soit/« = 4. Les deux nombres /// et n, doiveiiî
vérifier l'égalité —7 -f- — = -7' M"i n'admet qu une solulion
// «, 4 nouvelle n' = â, /;, = 2.
■Nous trouvons ainsi les six équations différentielles
( ^ j = G { // — fi Y' (il — b 1',
(— j =0 {u- af [u— by,
(jy=G (.-.)=(-.-*)%
r^X =Çf{u — a)-{u — b)-,
±y = Q{u-ny[u-by,
qui admettent pour intégrales des fonctions doublement périodiques.
