C-i-jz=zz

c-^Cj -+-rz = z",

c 4- Cy 4- Cy' +y z = 2 Cy - z, C 4- Cy 4- C/+ Cy^ 4-y' z = ?. Cy — z'. C 4- Cy 4- Cy'H- Cy' 4- Cy' 4- y' z =: 2 Cy — z".

26J . Par des transformations convenables, il est possible d'exprimer, à laide des fonctions elliptiques, les onze fonctions doublement périodiques dont nous avons reconnu l'existence.

Si l'on pose

on voit d'abord que l'équation (2) se ramène à l'équation (i) ,

IMÉOaATIO>' l'AK LES F0>(.TJO.\S ELLll' 1 IQ L liS. 3l3

1 é(j[ualion (4) à l'(k{ualion (3). En posant

on ramène de même les équalioiis (6) el (7) à réquaiion (5) , les équations (9) et (10) à l'équation (8). En posant

on ramène aussi l'équation (11) à 1 é([ualion (8).

Mais on ramène les équations (5) et (8) à léquation (1) , en posant, clans le premier cas ,

« = /;-+- it'-, dans le second cas

11 reste donc à exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques, les fonctions définies par les équations (1) el (3). Si l'on pose

U .■== Cl -t- II'-,

l'équation (i) devient

Iv et H' dési^nanl les constantes -; 1 Si Ion tait

maintenant u' =1 — -, l'équation se réduit à

cette dernière équation admet pour intéi^rale {générale

a" z=\[g [z-i- CL], k), OL désignant une constante arbitraire.