Occupons-nous maintenant de l'équation (3) que, par

Ol4 LIVRK V[.

une Iraiisloimaliou facile , ou peul nielliii sous la tonne

(12) l^Jl^ — il —au^y.

Nous supposons, pour simplifier, (pie, dans celle dernière équation, à s == o correspond la valeur initiale « = o et

-77 = 1. La fonction définie par cette équation différentielle

est impaire. Si l'on appelle w et w' ses deux périodes, on sait, d'après un raisonnement déjà fait plusieurs fois, que les quatre

valeurs z =1 o. z=-, z = —-, z= 5 rendent la lonc-

lion nulle ou infinie; cette fonction admettantun infini triple,

nous pouvons supposer que cet infini triple est ? les trois

zéros étant G, -, — « Soit ^(g^^:. A) la fonction elliptique qui

admet les deux périodes w et 0/ ; il est clair que l'expression de it en fonction de 1 aura la forme suivante :

(i3) u= AA»-f- B\ -+- CaX'.

Il s'agit de déterminer les cinq constantes A, B, C, i,', A. En différentianl , on a

~ = £r 13 A.vy -h Bl' -{- Cl" + CaV). az

Aux trois valeurs 2 = 0, z = -■, z = —•> correspondent pour

du . , — 1 j , 1/3 — , , 1/3 .

^- les valeurs i, ^5 —^ qui sont les trois

dz '2 2 ^

racines cubiques de liinité. Si l'on fait z = o, 2 = -, il

dz 2

vient

IIS'TÉGRATIOÎV PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQCES. 3l5

d'où

B = ^ — '^^ Q L±iyl.

Servons-nous maintenant de la valeur de /. (z) développée en série

w' et posons z = h z . on a

et en substituant dans la valeur de u, après a\o!r remplacé z par ^2,

A — C /? Ajijj-J^^H-aB^* ""~ g^ P z'-' "^ 2 Â ' g-z' ^

La fonction devant s'évanouir pour z' = o, il en résulte les deux conditions

on en déduit

A- — 2 / y 3 . A H- 1 = 0; d'où

Posons entin z =z "^ "' -|- -' ^^ = - : Téciualion diftercn- 2 p- 1

tielle (12) devient

^1^ Liviie VI.

d'où

et, par suile,

D'un autre côté, la fonction X(z) et ses dérivées, pour

^ — '■ 1- z ei z = f- z ayant des valeurs égales et de

signes contraires, on a

^3 p ^n ou en déduit ;

Si J'on remplace A et C par leurs valeurs, il vient

rt- (r-h / y/s)

Toutes les constantes^sont déterminées, et l'intégrale de l'équation (12) est exprimée au moyen de la fonction elliptique À (gz) et de sa dérivée.

Chacune des transfoiniations que nous avons effectuées donne l'intégration d'une équation différentielle. Par exemple, l'équation finie (i3) est l'intégrale de l'équation difïérenlielle du d A

dans laquelle g' et /c ont des valeurs convenables.