PRÉFACE

Dès les commencements du calcul intégral, les i>éomètresse sont aperçus qu'un grand nombre de quadralurcs ne peuvent être exprimées, sous foriiie finie, à l'aide des signes connus, et constituent en quelque sorte des transcendantes nouvelles. On intégra d'abord les fractions rationnelles et les expressions irrationnelles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du premier ou du second degré; mais, dès que le degré du polynôme placé sous le radical surpasse deux, l'intégration devient impossible. On fit voir ensuite que toutes les quadratures, dans lesquelles le polynôme placé sous le radical est du troisième ou du quatrième degré, se ramènent à trois formes simples, auxquelles on donna le nom de transcendantes elliptiques, parce que l'une d'elles représente la longueur d'un arc d'ellipse.

Ces transcendantes occupèrent Legendre presque toute sa vie; car ses premiers travaux à ce sujet datent de 1786, et il ne publia qu'en 1825 son grand Traité des fonctions elliptiques. Legendre se proposait surtout de ramener les quadratures les unes aux autres par des transformations algébriques, afin de pouvoir calculer des tables numériques; il a découvert un grand nombre de transformations remarquables. Mais ces quadratures, telles qu'il les considérait, sont les inverses des fonctions elliptiques; aussi la double périodicité, qui est leur caractère distinclif, lui avail-elle écbappé complètement.

wiir rv>i-;i-ACE.

\ t'vs i8y.6, Alx'l, If j>i('iiiiri', envisagea les ronelKtiis elliptiques a leur vrai point de vue, et en reconnut la double périodieité. Trois ans plus tard, en 1829, Jacol)i publia ses Viindamenla nova theoncv functioniun ellipticarinn. Le Traité de Jacobi ne renferme rien d'essentiel qui no se trouve dans les Mémoires d'Abel, malheureusement interrompus par une mort prématurée. Sans chereher à établir la part qui revient à chacun de ces deux célèbres géomètres, nous ferons remarquer que la méthode d'Abel nous semble bien préférable a celle «le Jacobi. Abel essaye de déduire les principales propriétés des fonctions elliptiques de leur caractère fondamental qui est la double périodicité, tandis que Jacobi n'y arrive que par des transformations algél)riques, fort ingénieuses sans doute, mais qui présentent le grave inconvénient de ne pas faire conq^rendre la raison des théorèmes et de ne pas mettre sur la voie de découvertes ultérieures.

Malgré les remarquables travaux de ces deux grands géomètres, la théorie des fonctions elliptiques restait fort obscure et très-compliquée; ni la double })ériodicité n'avait été reconnue d'une manière nette, ni la fonction ellemême définie d'une manière rigoureuse. Il fallait, pour éclairer cette théorie, l'introduction d'une idée nouvelle en mathématiques, et c'est à l'illustre Cauchy que l'on doit cet important progrès.

Tous les géomètres savent les services qu'a rendus à l'algèbre la considération des quantités imaginaires; la théorie des équations n'a pu être établie qu'à cette condition. La considération des quantités imaginaires paraît devoir rendre à la théorie des fonctions des services plus grands encore. Mais, pour bien comprendre l'importance de cette idée, il convient, croyons-nous, de faire disparaître l'espèce d'antagonisme, ou d'opposition, que l'on a laissé sub-

iMiÉiACE. xrx

sister juscju'à pK'SLUl ciilie ce que Ton ;i uppclc les (jiimiililés réelles ai les quantités imaginaires. Si, dans un [ilaii, on prend un point tixe, que par ee j)oint on nii-ne un axe fixe, lien n'enipèelie de eoneevoir la quantité iniai;inaire eoninie une loni;ueur portée a partir de l'origine dans une direction marquée par l'argument; la variation de cette grandeur géométrique , comme l'appelle Cauchy, sera figurée par le mouvement d'un point dans le plan. La variable réelle correspond au mouvement particulier du point mobile sur l'axe dans un sens ou dans l'autre. Cette extension donnée a l'idée de i^ranilcur lesoul bien des difficultés qui se sont présentées dans la tlieorie des fonctions, et dont il était inq)Ossible de se rendre compte tant qu'on laissait la variable réelle, c'est-a-dire tant qu'on assujettissait le point mobile a se mouvoir

sur l'axe. Ainsi, ouand on dévclonne la l'onction

en série, on s'aperçoit que la série n'est convergente que pour les valeurs réelles de x comprises entre — i et -f- I ; dès que x dépasse i , la série devient divergente, et cependant la. fonction proposée reste finie et continue. A quoi cela tient-il? Nous avons fait voir qu'une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de X est convergente tant que la variable reste dans l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre; or, pour .x- = ±i, la fonction devient infinie; le cercle de convergence a son rayon égal à un; voilà pourquoi la série cesse d'être convergente. Il en est de même de (a fonction arc tang x; la série n'est convergente que pour les valeurs réelles comprises entre — i et -4- i , et cependant la fonction reste- finie et continue quand x dépasse i ; ceci tient à ce que pour x =: ± i, comme précédemment, la fonction devient infinie. 11 résulte du la que, pour expliquer certaines propriétés des fonctions,

XX VRlifACE.

même quand on se borne au cas de la variable réelle, il est indispensable de rendre la variable imaginaire; en d'autres termes, les propriétés de la fonction, même quand le point mobile reste sur Taxe, n'apparaissent complètement que si l'on fait mouvoir la variable d'une manière quelconque dans le plan.

Lorsqu'on connaît l'intégrale indéfinie F(^) d'une expression différentielle /'^xj dx, et que la fonction/ (a?) reste finie et continue pendant que la variable réelle oc va de Xq

à,r,, on sait que l'intégrale définie / \f[x)dx est égale

à la différence F (a;,) — F(^o) des valeurs de l'intégrale générale aux deux limites. Il peut arriver que la fonction f{x) devienne infinie pour une valeur intermé-

/ [x] dx,

Jf {x'j dx tendent vers des limites finies et déter-

minées, quand s et s' tendent vers zéro, on représente la somme de ces deux limites par le symbole

/ f[oc) dx, et cette somme est encore égale à la diffé-

rence des valeurs de l'intégrale générale. Mais, quand les deux intégrales ne tendent pas vers des limites finies et déterminées, ce symbole n'a plus de sens, au point de vue de la variable réelle, et cependant l'intégrale générale donne toujours une différence finie Y [x^) — Y [xq). Que représente cette différence? Si l'on rend la variable imaginaire et que l'on fasse aller cette variable du point jTo ail point x^ suivant une courbe quelconque dans le plan, de manière toutefois à éviter le point a qui rend la fonction /f^^) infinie, l'intégrale curviligne aura un sens bien précis et elle sera encore donnée par la différence de? valeurs (b' rinl<'i:';ralc urnéi'idc.