PRÉFACE. XXI

Nous citerons comme exemple l'intégrale détiiue

— : l'expression différentielle — admet l'intégrale

générale log ^H-C; la différence log i — log ( — i), c'est-à-dire {•2k-+- \)7zi, k étant un entier quelconque, donne les diverses valeurs de l'intégrale définie, quand la variable va de — i à + i en décrivant diverses courbes dans le plan. Cette remarque a été le point de départ des beaux travaux de Cauchy sur les intégrales définies.

Les fonctions, qui sont d'un usage ordinaire en mathématiques, se ramènent à deux catégories, celle des fonctions algébriques et celle des fonctions simplement périodiques. On ne voit bien les propriétés d'une fonction définie par une équation algébrique, et la manière dont elle acquiert des valeurs multiples, qu'en faisant mouvoir la variable dans le plan, ainsi que l'a montré M. Puiseux dans son important travail sur les fonctions algébriques. On peut à la vérité définir les fonctions simplement périodiques, comme le sinus, la tangente, etc., à l'aide d'un cercle, en laissant la variable réelle ; toutefois, la variable imaginaire permet de faire rentrer les fonctions exponentielles dans la catégorie des fonctions simplement périodiques.

Les fonctions elliptiques appartiennent à une troisième catégorie, celle des fonctions doublement périodiques. Mais il nous parait impossible de concevoir nettement ces fonctions, sans donner à la variable l'extension dont nous avons parlé. Conservant au mot fonction le sens habituel, nous dirons, avec (.auchy, qu une quantité géométrique est fonction d'une autre, quand la variation de la première est déterminée par celle de la seconde. Que l'on se ligure le plan divisé en parallélogrammes égaux par