XXII PRÉFACE
deux séries de droites parallèles, et que l'on i'asse mouvoir la variable dans le plan, la fonction sera doublement périodique si elle reprend la même valeur aux points correspondants des divers parallélogrammes.
Ce volume a pour objet principal l'étude des fonctions doublement périodiques. Il est divisé en six Livres. Dans le livre P', nous démontrons les principales propriétés des fonctions, au point de vue des variables géométriques. Dans le livre II , après avoir exposé une méthode générale pour étudier les fonctions déiinies par les équations différentielles, et appliqué cette méthode aux équations les plus simples qui donnent naissance à des fonctions doublement périodiques, nous démontrons les propriétés fondamentales de cette classe de fonctions. Déjà MM. Liouville et Hermite avaient considéré les fonctions doublement périodiques en elles-mêmes, et déduit du fait même de la doul)le périodicité leurs propriétés les plus remarquables.
Les livres III, IV, V sont consacrés exclusivement aux fonctions elliptiques, à leur développement en séries et à leurs transformations. Nous définissons les fonctions elliptiques par des équations différentielles; c'est ainsi qu'elles se présentent dans les applications, et d'ailleurs ce mode de génération met en évidence d'une manière très-simple leurs propriétés principales. A cause des difficultés trèsgrandes qu'a présentées jusqu'à présent l'étude directe de l'équation différentielle, plusieurs géomètres ont proposé de définir les fonctions elliptiques par des séries; sur la fin de sa vie, Jacobi avait eu l'idée de les considérer comme des quotients de certaines fonctions données par des produits d'un nombre infini de facteurs. Mais la difficulté n'en subsistai! pas moins. îl restait toujours à
PRÉFACE. XXIH
fjiii'c \(iir (juc loiilc ('(jiKilioM ditrciciiliclic de l;i l'oi'in»; convenable admet pour intégrale une l'onction détinie de la sorte. Nous avons donc [)réf'éré aborder directement l'étude des fonctions ellipliqiies par les équations différentielles, et nous croyons avoir fait disparaître toute espèce de difficulté à ce sujet.
La métbode que nous avons donnée pour l'étude des fonctions définies par des équations différentielles nous permet d'intégrer les équations différentielles à l'aide des fonctions elliptiques, lorsque cette intégration est possible. A l'inspection de l'équation différentielle, nous reconnaissons d'abord les principales propriétés de la fonction intégrale, sa nature, la catégorie a laquelle elle appartient. Si la fonction est algébrique, ou simplement périodique, nous l'obtenons à l'aide des signes élémentaires; lorsqu'elle est doublement périodique, nous l'exprimons, avec une égale facilité, à l'aide des fonctions elliptiques. Le livre YI traite de ce nouveau mode d'intégration par les fonctions elliptiques.
On rencontre fréquemment les fonctions elliptiques dans les questions de géométrie, de mécanique ou de pbysique mathématique. Nous citerons, comme exemples, le pendule ordinaire, le pendule conique, l'attraction des ellipsoïdes, le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, etc. M. Lamé a publié l'année dernière un ouvrage très-intéressant, où il montre comment les fonctions elliptiques s'introduisent dans les questions relatives à la distribution de la chaleur et aux surfaces isothermes. Nous ne nous sommes occupés dans ce volunu» que de la partie théorique. Il y aurait lieu de s'occuper de la construction des Tables et de la meilleure disposition a leur donner en vue de la pratique. Cette question,
