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On déduit de là ■ ^ ... 1

iO, [z

'■Ht)''('+t)

. p I 2:Tst

Ainsi, quand on ajoute — à la variable, les deux fonctions

0 et e,, 01 et 03 se permutent l'une dans Taulre à une exponentielle près.

I 58 - LIVRE IV. r: ... ■

Il résulte de ce qui précède que les quatre fonctions 0 ■ peuvent être ramenées à une seule d'entre elles, par exemple à la fonction 9. On a, en effet, en vertu des formules que nous venons de démontrer,

136. On en déduit aisément des formules qui permettent de calculer le miodule h et la période w en fonction du rapport fl des périodes. En vertu de la première des équations (lo) et des formules (II) du n*^ 13i , on obtient le module

La première formule (8) fournit de même le module complémentaire

La troisième des formules (8) donne ensuite

TT I 1 1 1 — ry"' I '

d'où l'on déduit U valeur de la première période

(.6) ' ^=rn ■+''•"'. '-^"""T-

Cette dernière expression peut être simplifiée : le facteur I — <f'"'^^- ^ suivant que n est pair ou impair, est de la forme

, ,y ■.■(•-'"'+ lî ou I— r/H"'-+-0,

PKOl'KIÉTl^.S IJE LA FO>CTJ<>N fc). i 5o

// re( L'vaut toutes les valeurs «litières. On jjcul écrire

d'où

cl par suite

On a aussi, en combinant les relations précédentes,

/-X' ( Jl. ] 2 ^^ pj [i ^3(î"+gj3

Jlutres manières de décomposer les fonctions elliptiques en quotients de fonctions synectiques .

137. Dans le chapitre précédent, après avoir exprimé les fonctions elliptiques par des produits d'un nombre infini de facteurs, nous avons évalué séparément le produit des facteurs du numérateur et celui des facteurs du dénominateur, en faisant augmenter indéfiniment d'abord m, puis Ti. ce qui revient, comme nous l'avons dit, à grouper les facteurs par files parallèles à la première période &>. Nous serions arrivés à d'autres fonctions synectiques en faisant croître indéfiniment, d'abord //, puis m ; ce qui revient à grouper les facteurs par files parallèles à la seconde période w'.

La formule (7) du n** 125, dans laquelle on remplace w par 2 (1)', devient