COS

— sin —

sm' -y—

PKOPRIÉTÉS DK LA JONCTION t) . î6l

Dans cette dernière , on fait la convention d attribuer à

fn inv:\ , , T. cos ( pour m = o la valeur y

Supposant toujours la quantité s positive, nous mettrons la seconde et la quatrième sous la forme

/ TT z nn:

cos —r —

.(') ~ o>' I- IT \^-' 2p

z= e " lim 1 T

TO= — m — I

uit:

cos

rtzi

0^'^ =6' '^' lim ri

et nous les comprendrons dans la {ornuile générale

[■nz TV (2/7/ 4-1— (^iTrT

( 2 /?/ -h I — ^ ) Tt"]

4P On a

Dans l'expression des fonctions elliptiques au moyen des fonctions 0 ou 0'*', on peut remanjuer que les doux indices n et h se trouvent permutés.

La fonction 0 '^ jouit de propriétés analogues à celles de la fonction 0. On a

Iti "îTzzi -

138. On peut ramener les unes aux autres les fonctions 0 et 0 '\ Nous remarquons d'abord que la fonction paire

iGt. livre IV.

ne devient ni nulle, ni infinie, pour aucune valeur finie de z et se réduit à l'unité zz=o. On a. en vertu des relations établies précédemment.

~ l iTt Zl

On en déduit

dz m' (Iz

r/.Iog/(s-f-w')47:/ d\o^f{z)

et, pai' suite ,

rfMog/(z

^Mog/(;

r/z= dz''

rMogy>-hw ') ^ rfMog/(-z) r/z' r/z-'

les fonctions

^^iog/(^) /^(^) ^^^i"g/(^) ^/(2)/"(z)-/-M^)

sont monodromes. comme îa fonction /(^) ; la d(Mnière admet

les deux périodes -■, u-)' ^ mais (ette fonction doublement'

périodique, n'ayant pas d'infini dans le parallélogramme des périodes, puisque la fonction /' (z) ne devient ni nulle ni infinie, pour aucune valeur finie de s, est une constante, et l'on a

r/Mog/(z)

d'où

La constante [S est nulle puisque la foncliou /' (^) est impaire. Quant à la constante a, on la déteimincra en remar-

l'HulT.ir^nÉS VK LA FOAC'llON fc). ll)?i

,, . ''> / I 1 ,■ • f^^oi'/iz) (iiiaiil (iiic 1 accroisscmeiil y. - cm aw de la loiictKJii — — ■■>

pour un accroissement - ou oj' donné à la variable z , doit cire ^ 2