OJO

On a donc

rflog/(z) 4 Tf Z'

et. pai suite

139. Il existe une relation très-remarquable entre les fonctions 0, qui correspondent à des modules complémciilaires A et A'. Nous avons vu (n" 107) que, si Ion appelle r») et w' deux périodes ellipticjues de la foni tion X (z,A), la fonction

/ (z, Â') admet les périodes elliptiques — 2w'/, — i dont b- rap-

port est — j—- La foimule (i) devient

P) (z , ^■' )„, 4 = ^ ^Min. Il -' ^ •

cos [a [t. n -h \ — b) -f—

en la comparant à la formule (17) on voit que

(ly) &liz,f,')„,(, = 0 ' (z, /.)„,i.

Nous avons groupé les facteurs par files parallèles à la direction o) ou à la direction w' 5 on peut encore les grouper d'une infinité d'autres manières, ce qui conduit à de nouvelles fonctions synectiques. Imaginons en elFet (jue l'on remplace les deux périodes o> et oi' par d'autres périodes w, et w', formant un parallélogramme élémentaire et qiu; l'on i^ronpc les facteurs par files parallèles à lune des périodes ro, on w, , nous

l6"4 LIVRE IV.

oblicndrous de nouvelles foiietions synecliques dillérentes des premières. Mais toutes ces fonctions se ramènent à la fonction 0, comme nous allons voir.

Equations différentielles auxquelles satisfont les jonclions (d.