Exemple X. — Soit Téquation
La variable part de z = b, la fonction ayant la valeur ii =0, et la dérivée la valeur U = 1 .
L'intégrale est une fonction monodrome doublement pério-
dique. Posons j = e ^ 5 quand on remplace z par jz^ la fonction u devient ju. Ainsi les deux périodes sont w et j<ù. La
fonction admet trois zéros simples o, y :» et trois in-
finis simples a^ja^pa.
Nous intégrerons Féquation différentielle proposée au moyen, non pas de la fonction elliptique ^(2)9 mais de la fonction doublement périodique du second ordre (f{z) définie par Téquation
avec la condition ç = o pour z = 0.
On peut déterminer la constante kj de manière que celte fonction admette les mêmes périodes &> et /o); puisque
ç (y^) =79 (-z), elle aura alors les deux zéros o et -.et
Tinfini double .• Cette fonction se développe en série
de la manière suivante :
La fonction u (1 — A'ç') dans laquelle A' = -77-:» n'a que Tinfini quintuple :• La fonction ç contenant ce même
infini au second degré et ç' au troisième degré, le produit (f(f le contiendra au cinquième degré, et Ton pourra déterminer la constante A, de manière que la fonction
tt(i — A'<p3) — A<p(p'
ne contienne plus cet infini qu'au quatrième degré ; puis la constante B, de manière que la fonction
ne le contienne plus qu'au troisième degré *, puis la constante C, de manière que la fonction
EXEMPLES d'iutégrâtioit. 337
ne le contienne plus qu au second degré ; puis la constante D, de manière que la fonction
ne le contienne plus qu'au premier degré. Cette dernière fonction, n'ayant qu'un infini, est une constante E. On a donc
uli — h^f) = A«p(p'-f-B^.»H-C«p'-f-Dfp-i-E.
Mais la fonction u s'annulant pour z =0; et devenant;» quand on remplace 2 par 72, les constantes B, C, E sont nulles. On a donc finalement
Il faut déterminer les quatre constantes A, D, A. &. Pour u = 6^ Téquation diflérentielle se réduit à
et admet les trois solutions
La première correspond à z = o , si l'on développe en se bornant aux deux premiers termes, on a
ce; qui donne les deux conditions
(i) Ah-D==i,
(2) 5AX-^^-D/t»=|-8A».
Nous ferons correspondre la seconde racine à z = :• On
ainsi
ri, comme
Oïl oblioiU lardatioli
La troisième racine correspond à z = — y"— ïCldoiinelacondilion
Des équations (i). (3), (4), on déduit
Substituant dans Téqualion (2), il vient ^. 9-5V^ .
d'où
On connaît ainsi la fonction intégrale
// rr — — ; -'
278. Exemple XI , — Prenons pour dernier exemple IV- ({ualion du cinquième degré
dans laquelle la variable part de z = o, la fonction ayant ta valeur initiale // = o, et la dérivée la valeur U i= i .
Pour M = dz I, Téquation admet cinq racines égales à zéro*, ces cinq racines forment un groupe circulaire, tel que, si Fou pose a = ii= 1 -h /*', le premier terme du développement de L,
suivant les puissances croissantes de a'S a l'exposant ^•
Pour « = o, outre la racine U = i , Téquation admet quatre racines égales à zéro qui forment deux groupes circulaires
EXEMPLES d' INTÉGRATION. Hg
romprenaiit chacun deux racines, et tels, que le premier terme
du développement de chacun d'eux a pour exposant -•
Les racines multiples différentes de zéro sont données par Téquationj
obtenue en égalant la dérivée à zéro. En substituant celte valeur dans l'équation proposée, on a l'équation (m* — i)* = o, qui n'a pas d'autre solution que u=±i. Ainsi l'équation différentielle n'admet pas de racines multiples différentes de zéro.
La transformée
pour w» = o, se réduit à V^ — V* -f- -p- = o ; elle admet la ra-
ci ne double V = ^ et trois racines inégales données par l'équation du troisième degré
La racine double présente seule quelque difficulté; si l'on pose
on voit que le premier groupe comprenant un terme en V* et un terme en u^^ V est monodrome par rapport à i^.
L'équation différentielle présente donc tous les caractères c|ui distinguent les intégrales monodromes doublement périodiques. Cette fonction change de signe avec z. Elle admet un zéro simple et deux zéros doubles -+- a et — a, et cinq infinis
simples, -> - ? î -h h et — b. Pour l'exprimer au moyen
ric la fonction clliplique X [^z^ A) on remarque que la fonc-
