Exemple IX- — Soit Téquation

La variable part de ^ = o, la fonction ayant la valeur initiale /£ = o, et la dérivé la valeur U = 1.

L'intégrale est monodrome et doublement périodique; elle

change de signe avec 25 elle admet trois zéros simples o, ->

—, et trois inûnis simples ? 4-«» — «• La fonction

tSLlZ U dans laquelle — =X'(a), n'admettant plus que

Finfini double ? aura une expression de la forme

AX« -I- B -i- CX'. On a donc

(«) ' i*(i— An») = X(AV-hB-4-CV).

Il s'agit de déterminer les six constantes A, B, C, A, g^ k.

Pour 11 = o^ l'équation différentielle se réduit à U* — 1= o, ce qui donne les trois solutions U = i, U ==/', U = — /, en

représentant toujours par / la quantité e . La première valeur correspond à z = o ^ en se bornant aux deux premiers termes, on a

U = i — |a% d'où « = « — -«3.

en substituant dans Téquation («), on obtient les deux relations

Si nous faisons correspondre à z = - la seconde solution U=7*, nous aurons u =/* z', d'où

(3) Bg — Cg = ^j\

La troisième solution U = — / convient à z = — • Il en résulte

ii = — yV-, en substituant dans l'équation (a), on obtient les deux relations

(5) ày^Bgk + Ag-

EXEMPLES d'intégration. 335

La transformée

pour i^=o, se réduit à V — 3V'-h4 = ^« Cette équation admet la racine simple V = — i et la racine double V = 2. La

racine simple correspond à l'infini z = > la racine double

aux deux iniinis 2=H-aets= — a. Si Ton pose

il vient

ce qui donne la relation (6) A+CX^ = — ^X/i'.

Des équations (i), (3), (4), (6), on déduit

En ^ubsti tuant ces valeurs dans les équations (5) et (2), et posant, pour abréger,

^g' = Pf (i-h-Pjg'-q, on obtient deux équations du premier degré en p et ^, d'où Ton déduit

Ainsi les coefficients sont déterminés, et Tintégrale a pour expression

À(AX2-hB-hCX')

i — hn'