PRINCIPES

Ce premier Livre contient les principes d'une nouvelle théorie des fonctions.

Nous adoptons les définitions données par M. Cauchy, et nous les expliquons par des exemples.

Nous étudions ensuite les propriétés des fom^tions définies par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable.

Ceci nous permet d'établir, d'une manière nette et précise, ks conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction se développe en série convergente suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous faisons disparaître ainsi les nuages qui obscurcissaient encore le beau théorème de M. Cauchy.

Nous donnons ensuite les propriétés générales des fonctions, celles dont la connaissance sert, en quelque sorte, de fondement à cette nouvelle branche de l'analyse mathématique.

LIVKE PREMIER.

1. M. Cauchy définit de celle manière les fonctions d'une variable imaginaire. Soit

z = ,r -f- yi

la variable imaginaire-, si l'on désigne par X et Y deux fonctions réelles quelconques des deux variables réelles x etj^, la

quantité

pourra être considérée comme une fonction de z -, car, à chaque valeur de la valeur imaginaire z^ c'est-à-dire à chaque système de valeurs des variables réelles x et y correspond un système de valeurs de X et de Y, et par conséquent une valeur de m.

La valeur imaginaire z est la réunion^ au moyen du symbole v' — I, que nous représentons par la lettre i, de deux variables réelles et indépendantes x et y. La variation de z est indéterminée, car on peut faire varier simultanément les deux variables x et j^ en établissant entre elles telle relation que l'on voudra. Si les deux fonctions réelles X et Y varient d'une manière continue avec x et y^ on dit que u est une fonction continue de z.

On se fait une idée très-iietle de ce qui précède, en imaginant que X Gi j soient les coordonnées rectangulaires d'un point z du plan horizontal , la variation de z sera figurée par la courbe décrite par ce point. Que Ton conçoive, en outre, deux surfaces ayant pour ordonnées verticales. Tune X , l'autre Y, ces deux surfaces représenteront la fonction u\ si le point z décrit dans le plan horizouial une certaine courbe, les extrémités des ordonnées verticales traceront, sur les surfaces, deux lignes dont l'ensemble indiquera la variation correspondante de la fonction m.

DÉFÏN1TI0^S S

On peut aussi représeuler la fonction m, comme la variable 2, en supposaut que X et Y soient les coordonnées rectangulaires d'un point u du plan horizontal. Quand le point z se meut sur une courbe, le point u décrit une courbe correspondante.

2. Concevons que la variable z reste comprise dans une certaine portion du plan: si la fonction u acquiert la même valeur au même point, quel que soit le chemin suivi pour y arriver, sans sortir de la portion du plan considérée, M. Cauchy dit que la fonction est monodrome dans cette portion du plan. Il est clair que, si le point z décrit une courbe fermée quelconque dans la portion du plan considérée, la fonction u revient à la même valeur, en d'autres termes, le point u décrit aussi une courbe fermée.

Une fonction rationnelle de z est une fonction monodrome dans tome l'étendue du plan. Il en est de même lorsque X et Y sont deux fonctions rationnelles quelconques de x ety ; plus généralement, lorsque chacune des deux surfaces, par lesquelles nous représentons u couvre tout le plan horizontal par sa projection, et n'a qu'un point sur chaque verticale.