Considérons, comme exemple, la fonction définie par

Téquation

Nous supposons que, pour r = o, on a « = -f- i ; faisant varier z à partir du point O sur une courbe quelconque , nous suivons la variation de z par la continuité. Marquons le point A qui correspond à la valeur « = — i

(fis* 0' ^^^^ chemins très-rapprochés OBM, OCM , allant du point O à un même point M du plan , et ne comprenant pas entre eux le point A , conduiront à une même valeur de u.

En effet , subdivisons les deux chemins en éléments correspondants très-petits 0&, , &i &t ,... ; Oci , Ci c^ ,... ; si l'on y a du point O au point voisin bi par le chemin Obi ou par le chemin Oci &i , on arrivera à des valeurs de u peu différentes de la valeur initiale m = -f- i , et par conséquent peu diflérentes entre elles. Mais cette différence est rigoureusement nulle, car les deux racines de Téquation u' = z+i ayant entre elles au point &, une différence finie, on a nécessairement la même racine Ui. Partons maintenant du point b^ avec la valeur Ui de la fonction comme valeur initiale, et allons au point voisin bf par les deux chemins bib^, ^i^i^s&i; en vertu du même raisonnement, la fonction prendra au point b^ la même valeur u, : mais quand on revient de b^ en c^ , la fonction reprend en Ci la valeur qu'elle avait en ce point, quand on allait de O en c, -, ainsi les deux chemins Ob^^Oc^b^^ conduisent à la même valeur u^ de la fonction en J,. En continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux chemins OBM, OCM, conduisent à la même valeur de la fonction en M.

U résulte de ce qui précède, que deux courbes quelconques allant du point O au point M, et telles, que Ton puisse, par déformations successives, transformer Tune dans l'autre sans passer par le point A , conduisent à la* même valeur de la fonction au point M. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute portion du plan qui ne comprend pas le point A, par exemple, dans le cercle décrit du point O avec un rayon plus petit que Funité.

Supposons maintenant que l'on aille du point O à un point a voisin du point A {Jig- a), et que Ton décrive autour de ce point une courbe fermée très-petite abcda \ les deux racines de Téquation différant très-peu Tune de l'autre dans le voisinage du point A , la fonction ne revient pas à la valeur qu'elle avait primitivement en A. En effet, si Ton pose

on a

Quand z décrir, la droite Oa, la valeur de la fonction reste ^*e- 2 réelle et positive et diminue

de -f- i à -f-

quand

décrit ensuite la courbe fermée abcda f Tangle 6 varie de o à 27r, la fonction u acquiert en a la valeur

négative r* e^^ ou — r'. Si l'on revient de a en O suivant la droite aO, la fonction reste négative et arrive en O avec la valeur — i, différente de la valeur initiale -f- i.

n est aisé , d'après cela , de comprendre comment deux che- Fig. 3. mins OBM, OCM {fg. 3),

comprenant entre eux le point A, conduisent à des valeurs très-différentes de la fonction. Eu effet, prenons un point a voisin de A et décrivons autour du point A une courbe fermée abcda\ le chemin OBM peut être remplacé par le chemin OaM -, de même, le chemin OCM par le chemin Oabcda^\ car, en déformant le dernier, on le ramène à OCM sans passer par le point A. Suivons maintenant ces deux chemins OaM, OabcdaM^ peu différents F un de Tautre ; de O en rz les valeurs de la fonction sont les mêmes de part et d'autre . Quand, suivant le second chemin, z a décrit autour du point A la courbe fermée abcda^ la fonction revient en a avec une valeur différente de celle qu'elle avait précédemment; on part donc du point a avec des valeurs différentes pour parcourir la même ligne a M , et les deux valeurs de la fonction diffîirent de plus en plus.

Ainsi la fonction cesse d'être monodrome dès que la portion du plan considérée comprend le point A. On peut classer les

chemins qui vont deTorigine à un point quelconque M du plan en deux catégories : ceux qui se lamènent au chemin rectiligœ sans passer par le point A , et ceux qui ne peuvent s*y ramener qu'en passant une fois par le point A; les premiers conduisent à la même valeur de la fonction au point M, les autres douDCnt une autre valeur à la fonction.

Nous avons vu qu'une circonférence décrite autour du point A change la valeur de la fonction. Un second tour reproduirait valeur primitive. Ainsi, tout chemin qui se ramène i unantff i en passant deux fois par le point A , conduite la même valenr de la fonction.

4. Une fonction implicite définie par une équation algébrique entre z et u, présente des circonstances analogues à | celles dont nous venons de parler. On part d'un point déterminé 2 = ^0 avec une valeur initiale m = iio , Tune des racines de l'équation pour ^ = ^o*, le point z décrivant une certaine courbe, la fonction u varie d'une manière continue. Tant que Ton reste dans une portion du plan ne comprenant aucun point pour lequel la fonction u devient égale à une autre racine de l'équation , la fonction est monodrome. Elle cesse ea général de Tètre dès que l'on dépasse un de ces points. Le* fonctions de ce genre sont l'objet d'un remarquable travail de M. Puiseux , qui a fait voir comment les racines de l'équation se permutent les unes dans les autres quand on tourne autour des points pour lesquels l'équation a des racines égales (*).