dz^ dz du dz du* \dz) du dz
/d'u\ z' \dz'),i,VL
On fera dans ces équations z = Oy m = o, et l'on remplacera
/ — j , ( -— I > . • • > par leurs valeurs déduites des équations ( 5 ) .
Mais on voit que les seconds membres des équations (5) et (lo) sont alors identiquement les mêmes ; on a donc
et, par suite, Téquation différentielle est vérifiée.
49. La même méthode s'applique aux équations difïérentielles simultanées. Soient m équations simultanées
(il) ^=/(z, «,«',...), ^ = /.(z,",a',...)>"-»
dans lesquelles nous supposerons que la variable z parte de 2 = 0, les fonctions ii^ ii',... ayant les valeurs initiales zéro.
;>c) ].i\KK II.
Les l'CK'llicionisdilli'i'cntiels sont des fonctions synectiques par rapport aux variables z^u, i/,..., tant que les modales de ces variables restent inférieurs ou égaux à o, r, r^ .... Appelons i\I, M,,..., les maxima des modules des fonctions /*, /,,... dans celle étendue, et posons
Kn vertu du Icmnic; III, les dérivées partielles des fonctions f\J\^,.. ont, pour r = o, u = o,..., des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées correspondantes des fonctions M 9, Mjf , — Si Ton compare les équations différentielles proposées aux é([uations différentiel les simultanées,
(Iv , , (h'
-- — ÎNIf (z,t',t' , ..), —= M, (j)(z,P,(^ ,...),.. .,
on \crr:i, comme précédemment, que les dérivées (7-)'
(S);--' (tJf); ('S-);- •' ''•^•^"■'"'•^ ^'' premières par un calcul de proche en procln*, ont des modules respectivement moindres <pic les (piautilés réelles et positives ( ^r ) '
(t1);-' (ê); (ï);---' q"« »'"" <>^«îuii des ««-ondes
par un calcul analogue.
Mais ces dernières é((uations peuvent être intégrées facilement -, on a d*abord
d'où
si ron porle les valeurs de r, i'',..., dans Tuntî d'elles, il vient
dv
FONCTIONS défîmes PAR DES ÉQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES 5l
on en déduit, par rintëgratîon,
/' ^ /M M. \ k^ /MM. , . \ *' .
Cette équation définit une fonction k s'évanouissant avec z et restant syneclique jusqu'à un certain module R. Si l'on appelle A le maximum du module de la fonction k dans celte étendue, on a
(cl''k\ ^ A
On aura donc, à plus forte raison, ^ à" u\
à" u\ MA
inod ( -TT 1 < 1.2. . ./?. —9
niod
lien résulte que les séries
[ du\ z l d' a \ z'
''=[-dz)ri'^\~di^).~^^
, fdu'\ z (^\ £ '^ \dz Jol \ dz^ /o I . 2
sont convergentes pour toutes les valeurs de z dont le module est moindre que R. Ces séries définissent des fonctions syiiecliques dans le cercle de rayon R, et satisfaisant aux équations différentielles proposées.
Il est facile d'évaluer le rayon de convergence R. La fonction A, s'évanouissant avec z, reste monodrome jusqu'à ce que deux racines de l'équation (i3) deviennent égales entre elles. Ceci a lieu lorsque la dérivée du premier membre de l'équation (i3) par rapport à v, ou le premier membre de Téqualiou (12), devient égal à zéro^ les valeurs de Âr, qui annulent
celle dérivée, sont — > ^rr» • • S ^^^ portera la plus petite de ces
valeurs dans Téquation (i3), et Ton en déduira la valeur correspondante R, réelle et positive, de z.
On arrive à une formule très-simple en remplaçant, ce qui est permis, les modules r, ;-',..., par le plus petit d'entre eux, et les maxima M, Mj,..., par le plus grand d'entre eux ^ l'équalion (12) prend alors la forme
d'où Ton déduit, par l'intégra lion,
,^Tô^[-('-^n=-'K-j)-
La fonction k reste monodrome jusqu'à une valeur R de >z donnée par la formule
(m -f-i)Mp
Les limites de convergence données par notre méthode sont plus étendues que celles qui ont été trouvées par M. Cauchy. C'est un avantage dans l'emploi des séries pour l'intégration.
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant :
Théorème L — Un système d'équations différentielles simultanées admet ^ pour intégrales^ des fonctions sjnectiques, tant que les coefficients différentiels restent eux-mêmes sjnectiques.
