FONCTIONS DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
pour 2 =: <Zj, , nous aurons d'où
Puisque le second membre s'annule pour i^=:o, il conticnl une puissance entière de v eu facteur, et Ton a
dv , ,
€n supposant que dans le quotient on ait remplacé u ei i^ par leurs valeurs en fonction de z. L'intégration le long d'une courbe quelconque donne
(f{z) dz.
L'intégrale définie ayant une valeur finie et \^^ devant être nulle, celle égalité est impossible. Quand m = i, l'équation diiïérenlielle devient
-^z=^{z)dz,
d'où
f{t)dz
Puisque ^^o= o, la fonction v est identiquement nulle.
Ainsi l'équation difiiérentielle proposée n'admet pas d'intégrale, prenant la valeur u^^ pour z r=; z^^ autre que l'intégrale synec tique.
51 . Pour engendrer la fonction m, nous partons du point z^j, avec une valeur initiale arbitraire i/^, et nous faisons mouvoir la variable z sur une courbe quelconque dans une portion déterminée du plan. Tant que le coefficient diflérenticl donné /{m, z) reste synectique pour les valeurs de z et les valeurs corres{>ondantes de m, la fonction u^ en vertu du théorème pré-
cèdent, reste elle-même synectiquc. Âiusi, quel que soit le chemin suivi dans cette portion du plan pour aller du point z^ au point 2, la fonction u a eu ce point la même valeur. i\iais si, ] sortant de cette portion du plan, et, suivant un certain chemin, on arrive à un point z, tel que, pour z = Zi et u=: Ui (m, étant la valeur correspondante de //), le coefficient différentiel devienne infini, ou se présente sous la forme - 9 ou cesse d^étre
monodrome, la fonction 1/ éprouvera autour de ce point de» modifications, et acquerra des propriétés spéciales, qui se trans^ mettront ensuite dans toute Tétenduedu plan.
Cas où le coefficient différentiel devient infini.
52. Nous sommes partis du point z^ avec la valeur initiale u,. Supposons que, la variable arrivant au point «i, la fonction acquière une valeur m, telle quç, pour z = z^ et a = 1/1, le coefficient différentiel /(a, z) devienne infini, de manière toutefois que son inverse r reste fini et continu dans le voi-
si nage de ces valeurs. Posons
d'où
— =:/(«,-hw',z.-4-2').
Si Ton regarde 2' comme une fonction de u' ^ celte fonction deviA satisfaire à l'équation différentielle
du ~ /(u, -+- m', z, -1-3') ' et admettre la >aleur initiale z' = o pour f/= o.
La fonction
restant finie et continue, est développable en une série couvergénie ordonnée sui\anl les puissances croissantes de //et de s'. et Ton a
•'l'I^ —7 ~ nu'"' -h hz -h rn z --f- rs ■ ^- ....
dff
FONCTIONS défîmes l'AR DES É<^1 ATIOIVS UJFFÉUENTIELLES 5!>
Si le second membre ne renlermait aucun iriine îndéptHidaut de y, Téquation diirérentîelle se mettrait sous la forme
du d'où Ton déduirait
IL = 3'(/; 4- eu' H- ez' -^ . . . ) ,
)rlu\
<'D appelant z[ la valeur de z'qui correspond k u[ . Quand 5' et «/leudent vers zéro, le second membre tend vers une valeur finie, tandis que le premier croît indo fini ment. Dans ce cas, l'équation difiei*enlielle n'admet aucune intégrale s'annulant avec z\
Ainsi la série renferme au moins un terme indépendant de 2'; nous désignerons par «i/'" celui des termes de ce genre du degré le moins élevé. A\cc la valeur initiale r/=<)pour ï/=o, l'équation difiérentielle (i4) délînit sans difficulté une fonction de u! synectique dans le voisinage de //= o, et, par conséquent, développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entièi'cs et croissantes de //. Soit
z = A.«« H- A, «*-Hi-|- . . .
celle fonction. I/équation différentielle devant être satisfaite, si Ton substitue à la place de z^ cette valeur, on aura
Aoatt'a— 1-+- A,(a 4- i) a'« . . . = au'"* -h ^ A» «'«-+-... .
En identifiant ces deux séries, égales pour toutes les valcui's Je a' inférieures i\ un certain module, on déterminera les exposants et les coefficients de la série 2'. Les premiers termes donnent
d'où
Réciproquement, si Ton considère n' comme une fonction i^z\ cette fonction sera déterminée implicitement par Téqua
lion (i5). A chaque valeur très-petite de z' correspoiident ( w 4- i) valeurs très-petites de ii\ ces valeurs sont sensiblement égales aux racines de l'équation binôme
et Ton a approximativement
//' = Bo z'«+^,
en désignant par B^ la quantité \ "^ ) • Posons z' = p e^^
et appelons "1 , m| , m, , . . . , u\^ les m -t- i valeurs de u' disposée» suivant les sommets d'un polygone régulier, savoir :
I B-^-irmt
Quand le point 2' décrit un cercle très-petit autour du point ^'=0, Targun^ent augmentant de air, u'^ se change en u[ , ii| en a^ , . . . , m'„ en u\ . On conclut de là :
Théorème VL.r—Lorsque, pour un système de valeurs sioiulrtanées z^ et m,, le coefficient diffét^nticl devient infini j si Von désigne par m l'ordre de la première dérivée partielle de la
fonction -r, par rapport à u qui ne s'annule pas, la fonction
intégrale u prend m -h 1 valeurs qui se permutent les unes dans les autres circulaire nkent^ quand la variable z tourne (lutourdu point z^ *, après m-\- 1 tours, la fonction rçuient à sa xmleur primitii^e.
Ainsi s'engendrent les fonctions multiples. Les fonctions algébriques, étudiées par M. Puiseux, rentrent dans cette catégorie ; et en effet, lorsqu'en un point du plan Téquation admet des racines égales, Iç coefficient différentiel devient en général infini.
Posons z^ = z^'*"-^y. Quand z" fait un lour,, z' en fait m -\- i^
FONCTIOMS DÉFIWIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 5j
et par conséquent u! en fait un et revient à la même valeur, i^insi la fonction uf est monodrome par rapport à la variable z'^ ; elle est d'ailleurs monogène ; donc elle se développe en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières crois-
santés de z^^ ou de z'"*"*"*, et Ton a
«' = B. zf'^' -h B, z'"»^' 4-
Il resterait maintenant à examiner ce qui arrive lorsque le
coefficient différentiel se présente sous la forme -? oucessc
d'être monodrome ; mais nous ne pousserons pas plus loin ici celle étude : ce qui précède suffit pour le but que nous nous proposons. Nous avons traité avec détail cette question importante dans un Mémoire inséré au 36** cahier du Journal de iEcole Polytechnique y et auquel nous renvoyons le lecteur.
