APPLICATION AUX FONCTIONS SIMPLEMENT PÉRIODIQUES
De la fonction e*.
53. Nous avons démontré que toute équation différentielle çngendre une fonction, et indiqué la marche à suivre pour étudier les propriétés de cette fonction. Avant d'aborder l'étude des fonctions doublement périodiques, nous allons, pour faciliter rintelligence de la méthode, considérer quelques équations différentielles très-simples, donnant naissance à des fonctions simplement périodiques.
Considérons d'abord la fonction définie par Téquation différentielle
et admettant la valeur u = i pour z =^ o. Le coefiicient diHérenliel étant une fonction synccli({ii(^ dr //, il est clair qur, tant
que u conserve une valeur finie, la fonction intégrale u reste elle-même foin tion monodiome de z. Mais il est aisé de Yoir que cette fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z ^ car, la fonction inverse étant donnée par rintégrale définie
ru du
siiis'éloigne à Tinfini suivant une ligne quelconque, z va aussi à l'infini. La fonction u définie par Téqualion différentielle proposée, restant finie, continue, monodrome et monogène pour toutes les valeurs finies de z, est une fonction synectiqm de z, dans toute Tétendue du plan.
Cette fonction est périodique; car à une même valeur de u correspondent toutes les valeurs que peut acquérir l'intégrale définie (a), quand on va du point i au point u par différents chemins \ la fonction, placée sous le signe somme, devenant infinie pour m = o, tous ces chemins peuvent se réduire au chemin rectiligne augmenté d'un nombre quelconque de fois le contour élémentaire qui enveloppe le point w = o. Si l'on désigne par z l'intégrale rectiligne, et par co l'intégrale le long du contour élémentaire, on voit qu'à chaque valeur de u correspondent une infinité de valeurs de z en progression arithmétique, savoir z -{- mo)^ m étant un entier quelconque positif ou négatif. Donc u est une fonction simplement périodique de -s; la période o) a pour valeur a tt i. On sait que la fonction u n'est autre chose que e*, lorsque la variable z est réelle ; il convient de la représenter par le même signe lorsque la variable devient imaginaire.
Soit Ui la valeur de la fonction pour une valeur déterminée ^1 de la variable; posons >zL=z,-f-2', u=^n^ii\ J étant une nouvelle variable, vl la nouvelle fonction ; l'équatipn différentielle devient — =r î/, elVon a encore ïa' = i pour z'=o.
On en conclut //= ir\ ce qui donne la relation fondamentale r.^^,-^-z' = e^, X c- .
Tmap;inons rpic Ton Irarc dan.s le plan des parallèles à l'axe
APPLICATION AUX 1 O.X'.TIOJSS SIM^J.EME^T l'KKlODlQUES. 5()
4a[fig. 9), à égale distaiice a tt les unes des autres; ces parallèles partageront le plan en bandes égales. Quand la variable z se meut dans une ~ bande, la fonction e* passe par
toutes les valeurs possibles,
et une seule fois par chacune
^ d'elles : elle devient iniinie si
la variable z s'éloigne à Tin-
— fini vers la droite, nulle au
contraire si elle s'éloij^ne à
linfiui vers la gauche. Quand la variable z passe d'une h^nidiî à l'autre, la fonction i-eprend périodiquement la même valeur.
L'équation didërentielle — =z au^ avec la condition u = i
pourz=o, produirait évidemment la fonction // = ('"\
De la Jonction tan g z.
S4. Considérons en second lieu la ibndion déliiii(! par \c- (juation différentielle
(^t admettant la valeur initiale m = o pour z = o.
La dérivée étant une fonction synecûcjue de w, la fonclion iot^rale n reste monodrome tant qu'elle conserve une valeur finie. Mais il peut arriver ici que u devienne infinie» pour u\w valeur finie de z ; car l'intégrale définie
tend vers une valeur finie quand u s'éloigne à l'infini dans une direction quelconque. Soit donc a une valeur finie de z qui lend u infinie ; pour voir cv qui arrive^ dans le \oisiiiai:;e d(; vv
pomt z = a, nous poserons z = aféronlielle devient
tt zrT -: ré(|uali<>ndif'
rh'
6o LIVRE II.
i^ se réduisant à zéro pour 2' = o ; la fonction i' restant monodrome dans le voisinage du point z =: a *, il en est de même de la fonction 1/. Ainsi Téquation différentielle proposée définit une fonction de z monodrome dans toute Tétendue du plan ; mais cette fonction n'est pas synectique, car elle devient infinie pour des valeurs finies de z.
Celle fonclion est périodique -, à une même valeur de u correspondent les valeurs de z données par l'intégrale définie (4) , dans laquelle il faut concevoir que la ligne d'intégration prenne toutes les formes possibles. La fonc-
placée sous le signe somme, devenant infinie pour
lion-
M = H- i et M = — j, tous les chemins peuvent se réduire au chemin recliligne augmenté d'un nombre quelconque de contours élémentaires autour de l'un ou l'autre des deux points M = -+- /, i/= — /• ces deux contours élémentaires donnant la même intégrale w = tt, on voit qu'à chaque valeur de u correspondent les valeurs z -h m w. Ainsi la fonction u est simple-
Fig. 10.
ment périodique, et la période est TT. On désigne celte fonction par le signe tang Zy parce que, pour les valeurs réelles de z, elle se confond avec la tangente irigonométrique de l'angle z.
Des parallèles à Taxe desj^ à la distance tt les unes des autres, partageront le plan en bandes égales (fig» lo) 5 quand la variable z se meut dans une bande, la fonction tang z passe par toutes les valeurs possibles, et une seule fois par chacune d'elles-, quand la variable passe d'une bande à l'autre, la fonction reprend périodiquement la même valeur. La fonction tang z n'a qu'un seul zéro et un seul infini dans chaque bande, dans la première
le zéro est z = o, Tinfiiii z =l ->
APPLICATION AUX FONCTIONS SIMPLEMENT PÉRIODIQUES. 6l
La fonction tang z est impaire. Car, si dans l'intégrale définie (4)) on fait marcher u suivant deux chemins opposés, de part et d'autre de l'origine u=o, on obtiendra pour z des valeurs égaler et des signes contraires; ainsi tang ( — z) = — tang z.
L*équation (5) admet pour intégrale
= — tang («') = — tang U — ^ j = tang ^^ — « h
il en résulte la relation tang
tangz Des fonctions sin z et cos z,
55. Proposons maintenant d'étudier la fonction définie par réquation différentielle
du
(6) -=ylG[u^a){u^b),
et admettant la valeur initiale a = o pour z = o ; on donne en outre la valeur initiale de la dérivée que nous désignerons par Uq. La fonction inverse
du
croit indéfiniment avec u ; ainsi u ne devient infinie 'pour aucune valeur finie de z ; il reste a examiner ce qui arrive lorsque u s'approche de Tune des valeurs a ou & pour lesquelles le radical n'est plus une fonction monodrome de m. Soit z^ une valeur de z pour laquelle u = a -, posons
z =r z, -4- z', Il =r û H- «" ;
l'équation différentielle devient
ul s'évanouissant avec z -, la dérivée restant monodrome pour des valeurs suffisamment petites de w', il est clair que a^ est elle-même fonction monodrome de z', dans le voisinage de 2'=:p, et par suite u est fonction monodrome de z [dans le voisinage de la valeur z,. Il en est de même quand u atteint la
6'2 hI>RE 11.
valeur b. On conclul dv là que la fonction i/, définie par Téquation dincrcnliclle proposée, esl une fonction synectiqtu de z, dans toute Tétendue du plan.
L'intégration présente ici une particularité qu'il est bon de remarquer. Quand la variable z arrive au point Zj pour lequel u = a, on peut concevoir que, z continuant à varier, u conserve la valeur constante rt, ou bien varie elle-même, et alors sou accroissemeut est la valeur de zi^', qui est indépendante du signe du radical. La même remarque s'applique au point b.
Etudions maintenant la fonction inverse donnée par l'intégrale définie
^ r" du ^
Nous nous servirons pour cela d'une méthode très-él^ante, dont le principe est dû à M. Cauchy, et qui a été applicfbée avec beaucoup de succès par M. Puiseux à la recherche des diverses valeurs (|uc ])eut acquérir une intégrale définie, quand on fait varier la ligne d'intégration.
Dans le plan servant à figurer la varialion de //, marquons les deux points a ei h (fig^ 1 1), (jui correspondent aux valeurs u = a^ u = b. Désignons par (A) le coniour élémentaire que l'on obtient lorsque la variable u va en ligne droite de l'origine à un point très-voisin de a, décrit un cercle très-petit autour de ce point, puis revient à l'origine par la même droite. Désignons de même par (B) le contour élémentaire qui enveloppe le point /;, et enfin appelons A et B les valeurs acquises par l'intégrale définie quand la variable w cfécril chacun de ces contours avec la valeur initiale U^ du radical. Nous remarquons d'aboi-d que l'intégrale relative à chacun des petits cercles est infiniment petite. Quand la variable w, après avoir parcouru ladroite Oa, décrit un petit cercle autour du point a, le radical change de signe, et il revient à Torigine avec la valeur — U^ 5 dans la seconde partie du mouvement, la droite aO étant parcourue en sens contraire avec un radical changé d(î signe, les éléments
