Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques;

CHAPITRE II. — Propriétés des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable.

Théorèmes sur les séries 11

Cercle de convergence 1 3

Une série ordonnée suivant les puissances entières de la variable est une fonction synectique dans le cercle de convergence. 18

CHAPITRE III. — Développement* des fonctions en séries ordonnées suivant les puissances entières de la variable.

Propriétés des intégrales définies quand on fait varier la ligne

d'intégration 20

Caractères auxquels on reconnaît si une fonction est dévcloppable en une série convergente ordonnée suivant les puissance.s entières, croissantes et positives de la variable. ..... 26

Série de Maclaurin. — Série de Taylor 27

Développement d'une fonction en une double série ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives de la variable 3 1 :

Développement des fonctions de plusieurs variables indépendantes 3â

vin TABLE DES MATIERES.

Pages,

Théorème II. Toute fonction doublement périodique, monodrome et monogène, admet au moins deux infinis dans chaque

parallélogramme élémentaire 8i

Théorème III. Chaque parallélogramme élémentaire renferme

autant de zéros que d'infinis 8i

Classification des fondions doublement périodiques 82

Théorème IV. La somme des n valeurs de la variable qui , dans un même parallélogramme élémentaire, correspondent à une valeur d'une (onction doublement périodique d'ordre riy est constante , 83

ThéorÈ5ie V. Il existe une fonction doublement périodique du second ordre, monodrome et monogène, ayant i\ç\\^ périodes données, deux infinis donnés et deux zéros donnés, pourvu que la somme des zéros soit équivalente à celle des infinis. 84

Théorème VI. Il existe une fonction doublement périodique, monodrome et monogène, d'ordre «, ayant deux périodes données, n infinis donnés, et n zéros donnés, pourvu que la somme des zéros soit équivalente à celle des infinis 88

Théorème VII. Deux fonctions doublement périodiques monodromes et nionogènes , d'ordre (ini , et dont les parallélogrammes élémentaires formés d'une manière convenable, sont contenus exactement dans un môme parallélogramme, sont fonctions algébriques l'une de l'autre 89

Corollaire I. Il existe une relation algébrique entre une fonction doublement périodique d'ordre quelconque et sa dérivée, 00

Corollaire II. Toute fonction doublement périodique du second ordre satisfait à une équation différentielle de la forme

1^1 = U, U désignant un j)olynôme entier en U du troisième ou du (piatrième degré qq

Théorème VIII. Une fonction doublement périodique, de l'ordre n, s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second ordre aux mémos périodes et de sa dérivée 02

Remarques 3

Théorème IX. Lorsqu'une fonction monodrome et monoL-ène a ses infinis et ses zéros (lis|)osés pai' grouj)es égaux et é(|uidisliinls suivani «Irux directions diffVMcntes, et (juc dans