XX PRÉFACE

même quand on se borne au cas de la variable réelle, il est indispensable de rendre la variable imaginaire; en d'autres termes, les propriétés de la fonction, même quand le point mobile reste sur l'axe, n'apparaissent complètement que si l'on fait mouvoir la variable d'une manière quelconque dans le plan.

Lorsqu'on connaît l'intégrale indéfinie F(^) d'une expression différentielle /(^) dx, et que la fonction/ (a?) reste finie et continue pendant que la variable réelle x va de Xq

à^,, on sait que l'intégrale définie / \f[x)dx est égale

à la différence F(^,) — F(a?o) des valeurs de l'intégrale générale aux deux limites. Il peut arriver que la fonction f[oc) devienne infinie pour une valeur intermé-

/ [x) dx,

f [x) dx tendent vers des limites finies et déter-

minées, quand £ et s' tendent vers zéro, on représente la somme de ces deux limites par le symbole

J\ f[oo) dx, et cette somme est encore égale à la diffé-

rence des valeurs de l'intégrale générale. Mais, quand les deux intégrales ne tendent pas vers des limites finies et déterminées, ce symbole n'a plus de sens, au point de vue de la variable réelle, et cependant l'intégrale générale donne toujours une différence finie F (^, ) — F {xq). Que représente cette différence? Si Ton rend la variable imaginaire et que l'on fasse aller cette variable du point Xq au point x^ suivant une courbe quelconque dans le plan, de manière toutefois à éviter le point a qui rend la fonction /(^) infinie, l'intégrale curviligne aura un sens bien précis et elle sera encore donnée par la difféî'cnce des valeurs de l'intégrale générale.

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Xous citerons comme exemple l'intégrale détinie —-, l'expression différentielle — admet l'intégrale

générale log a? -h G; la différence log i — log ( — i) , c'est-à-dire (2^ + 1)71?, k étant un entier quelconque, donne les diverses valeurs de l'intégrale définie, quand la variable va de — i à 4- 1 en décrivant diverses courbes dans le plan. Cette remarque a été le point de départ des beaux travaux de Cauchy sur les intégrales définies.

Les fonctions, qui sont d'un usage ordinaire en mathématiques, se ramènent à deux catégories, celle des fonctions algébriques et celle des fonctions simplement périodiques. On ne voit bien les propriétés d'une fonction définie par une équation algébrique, et la manière dont elle acquiert des valeurs multiples, qu'en faisant mouvoir la variable dans le plan , ainsi que l'a montré M. Puiseux dans son important travail sur les fonctions algébriques. On peut à la vérité définir les fonctions simplement périodiques, comme le sinus, la tangente, etc., à l'aide d'un cercle, en laissant la variable réelle ; toutefois, la variable imaginaire permet de faire rentrer les fonctions exponentielles dans la catégorie des fonctions simplement périodiques.

Les fonctions elliptiques appartiennent à une troisième catégorie, celle des fonctions doublement périodiques. Mais il nous paraît impossible de concevoir nettement ces fonctions, sans donner a la variable l'extension dont nous avons parlé. Conservant au mot fonction le sens habituel, nous dirons, avec Cauchy, qu'une quantité géométrique est fonction d'une autre, quand la variation de la première est déterminée par celle de la seconde. Que l'on se figure le plan divisé en parallélogrammes égaux par

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deux séries de droites parallèles, et que l'on fasse mouvoir la variable dans le plan, la fonction sera doublement périodique si elle reprend la même valeur aux points correspondants des divers parallélogrammes.

Ce volume a pour objet principal l'étude des fonctions doublement périodiques. Il est divisé en six Livres. Dans le livre P', nous démontrons les principales propriétés des fonctions, au point de vue des variables géométriques. Dans le livre II , après avoir exposé une méthode générale pour étudier les fonctions définies par les équations différentielles, et appliqué cette méthode aux équations les plus simples qui donnent naissance à des fonctions doublement périodiques, nous démontrons les propriétés fondamentales de cette classe de fonctions. Déjà MM. Liouville et Hermite avaient considéré les fonctions doublement périodiques en elles-mêmes, et déduit du fait même de la double périodicité leurs propriétés les plus remarquables.

Les livres III, IV, Y sont consacrés exclusivement aux fonctions elliptiques, à leur développement en séries et à leurs transformations. Nous définissons les fonctions elliptiques par des équations différentielles; c'est ainsi qu'elles se présentent dans les applications, et d'ailleurs ce mode de génération met en évidence d'une manière très-simple leurs propriétés principales. A cause des difficultés trèsgrandes qu'a présentées jusqu'à présent l'étude directe de l'équation différentielle, plusieurs géomètres ont proposé de définir les fonctions elliptiques par des séries; sur la fin de sa vie, Jacobi avait eu l'idée de les considérer comme des quotients de certaines fonctions données par des produits d'un nombre infini de facteurs. Mais la difficulté n'en subsistait pas moins. H restait loujours à

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faire voir que toute équation différentielle de la forme eonvenable admet pour intégrale une fonction définie de la sorte. Nous avons donc préféré aborder directement l'étude des fonctions elliptiques par les équations différentielles, et nous croyons avoir fait disparaître toute espèce de difficulté a ce sujet.

La méthode que nous avons donnée pour l'étude des fonctions définies par des équations différentielles nous permet d'intégrer les équations différentielles à l'aide des fonctions elliptiques , lorsque cette intégration est possible. A l'inspection de l'équation différentielle, nous reconnaissons d'abord les principales propriétés de la fonction intégrale, §a nature, la catégorie à laquelle elle appartient. Si la fonction est algébrique, ou simplement périodique, nous l'obtenons à l'aide des signes élémentaires; lorsqu'elle est doublement périodique, nous l'exprimons, avec une égale facilité, a l'aide des fonctions elliptiques. Le livre VI traite de ce nouveau mode d'intégration par les fonctions elliptiques.

On rencontre fréquemment les fonctions elliptiques dans les questions de géométrie, de mécanique ou de physique mathématique. Nous citerons, comme. exemples, le pendule ordinaire, le pendule conique, l'attraction des ellipsoïdes, le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, etc. M. Lamé a publié l'année dernière un ouvrage très-intéressant, où il montre comment les fonctions elliptiques s'introduisent dans les questions relatives à la distribution de la chaleur et aux surfaces isothermes. Nous ne nous sommes occupés dans ce volume que de la partie théorique. Il y aurait lieu de s'occuper de la construction des Tables et de la meilleure disposition a leur donner en vue de la pratique. Cette question,