PRÉFACE

Dès les commencements du calcul intégral, les géomètres se sont aperçus qu'un grand nombre de quadratures ne peuvent être exprimées, sous forme finie, à l'aide des signes connus, et constituent en quelque sorte des transcendantes nouvelles. On intégra d'abord les fractions rationnelles et les expressions irrationnelles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du premier ou du second degré; mais, dès que le degré du polynôme placé sous le radical surpasse deux, l'intégration devient impossible. On fit voir ensuite que toutes les quadratures, dans lesquelles le polynôme placé sous le radical est du troisième ou du quatrième degré, se ramènent à trois formes simples, auxquelles on donna le nom de transcendantes elliptiques, parce que l'une d'elles représente la longueur d'un arc d'ellipse.

Ces transcendantes occupèrent Legendre presque toute sa vie; car ses premiers travaux à ce sujet datent de 1786, et il ne publia qu'en 1825 son grand Traité des fonctions elliptiques. Legendre se proposait surtout de ramener les quadratures les unes aux autres par des transformations algébriques, afin de pouvoir calculer des tables numériques; il a découvert un grand nombre de transformations remarquables. Mais ces quadratures, telles qu'il les considérait, sont les inverses des fonctions elliptiques; aussi la double périodicité, qui est leur caractère distinctif, lui avait-elle échappé complètement.

XV m riiÉi'AcE.

Vers iSiS, Alx'l , le picmicr, envisagea les Ibiicliuiis ellipliques à leur vrai point de vue, et en reeonnut la double périodicité. Trois ans plus tard, en 1829, Jacobi publia ses Fundamcnia nova theoriœ functioniim ellipticamm. Le Traité de Jacobi ne renferme rien d'essentiel qui ne se trouve dans les Mémoires d'Abel, malheureusement interrompus par une mort prématurée. Sans chercher à établir la part qui revient à chacun de ces deux célèbres géomètres, nous ferons remarquer que la méthode d'Abel nous semble bien préférable à celle de Jacobi. Abel essaye de déduire les principales propriétés des fonctions elliptiques de leur caractère fondamental qui est la double périodicité, tandis que Jacobi n'y arrive que par des transformations algébriques, fort ingénieuses sans doute, mais qui présentent le grave inconvénient de ne pas faire comprendre la raison des théorèmes et de ne pas mettre sur la voie de découvertes ultérieures.

Malgré les remarquables travaux de ces deux grands géomètres, la théorie des fonctions elliptiques restait fort obscure et très-compliquée; ni la double périodicité n'avait été reconnue d'une manière nette, ni la fonction ellemême définie d'une manière rigoureuse. Il fallait, pour éclairer cette théorie, l'introduction d'une idée nouvelle en mathématiques, et c'est à l'illustre Gauchy que l'on doit cet important progrès.

Tous les géomètres savent les services qu'a rendus à l'algèbre la considération des quantités imaginaires ; la théorie des équations n'a pu être établie qu'à cette condition. La considération des quantités imaginaires paraît devoir rendre à la théorie des fonctions des services plus grands encore. Mais, pour bien comprendre l'importance de cette idée, il convient, croyons-nous, de faire disparaître l'espèce d'antagonisme, ou d'opposition, que l'on a laissé sub-

rUÉIACE. XIX

sister jusqu'à présent entre ce que Ton a appelé les quantités réelles et les quantités imaginaires. Si, dans un plan, on prend un point fixe, que par ce point on mène un axe fixe, rien n'empêche de concevoir la quantité imaginaire comme une longueur portée a partir de l'origine dans une direction marquée par l'argument; la variation de cette grandeur géométrique ^ comme l'appelle Cauchy, sera figurée par le mouvement d'un point dans le plan. La variable réelle correspond au mouvement particulier du point mobile sur l'axe dans un sens ou dans l'autre. i Cette extension donnée à l'idée de grandeur résout bien des difficultés qui se sont présentées dans la théorie des fonctions, et dont il était impossible de se rendre compte tant qu'on laissait la variable réelle, c'est-à-dire tant qu'on assujettissait le point mobile à se mouvoir

sur l'axe. Ainsi, quand on développe la fonction -^

en série, on s'aperçoit que la série n'est convergente que pour les valeurs réelles de x comprises entre — \ et -\- i\ dès que x dépasse i, la série devient divergente, et cependant la fonction proposée reste finie et continue. A quoi cela tient-il? Nous avons fait voir qu'une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de X est convergente tant que la variable reste dans l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre; or, pour x =i ± ?', la fonction devient infinie; le cercle de convergence a son rayon égal à un; voilà pourquoi la série cesse d'être convergente. H en est de même de (a fonction arc tangx; la série n'est convergente que pour les valeurs réelles comprises entre — i et H- 1, et cependant la fonction reste finie et continue quand x dépasse i ; ceci tient à ce que pour ^ = i!= /, comme précédemment, la fonction devient infinie. Il résulte de là que, pour expliquer certaines propriétés des fonctions,.

XVIII lUÉlACE.

Yc'i'S 1826, Al)(.'l , le piemier, envisagea les l'onelioiis elliptiques à leur vrai point de vue, et en reeonnut la double périodicité. Ti'ois ails plus tard, en 1829, Jacohi publia ses Fundamenta nova theoriœ functionum ellipticarum. Le Traité de Jacobi ne renferme rien d'essentiel qui ne se trouve dans les Mémoires d'x\bel, malheureusement interrompus par une mort prématurée. Sans chercher à établir la part qui revient à chacun de ces deux célèbres géomètres, nous ferons remarquer que la méthode d'Abel nous semble bien préférable à celle de Jacobi. Abel essaye de déduire les principales propriétés des fonctions elliptiques de leur caractère fondamental qui est la double périodicité, tandis que Jacobi n'y arrive que par des transformations algébriques, fort ingénieuses sans doute, mais qui présentent le grave inconvénient de ne pas faire comprendre la raison des théorèmes et de ne pas mettre sur la voie de découvertes ultérieures.

PUÉFACE. XIX

sister jusqu'à présent entre ce que Ton a appelé les quantités réelles et les quantités imaginaires. Si, dans un plan, on prend un point fixe, que par ce point on mène un axe fixe, rien n'empêche de concevoir la quantité imaginaire comme une longueur portée à partir de l'origine dans une direction marquée par l'argument; la variation (le cette grandeur géométrique , comme l'appelle Cauchy, sera figurée par le mouvement d'un point dans le plan. La variable réelle correspond au mouvement particulier du point mobile sur l'axe dans un sens ou dans l'autre. Cette extension donnée a l'idée de grandeur résout bien des difficultés qui se sont présentées dans la théorie des fonctions, et dont il était impossible de se rendre compte tant qu'on laissait la variable réelle, c'est-à-dire tant qu'on assujettissait le point mobile à se mouvoir

sur l'axe. Ainsi, quand on développe la fonction ^

en série, on s'aperçoit que la série n'est convergente que pour les valeurs réelles de x comprises entre — i et + I ; dès que x dépasse i , la série devient divergente, et cependant la fonction proposée reste finie et continue. A quoi cela tient-il? Nous avons fait voir qu'une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de X est convergente tant que la variable reste dans l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre; or, pour x ^= ± ?, la fonction devient infinie; le cercle de convergence a son rayon égal à un; voilà pourquoi la série cesse d'être convergente. 11 en est de même de (a fonction arc tangx\ la série n'est convergente que pour les valeurs réelles comprises entre — i et -h i, et cependant la fonction reste finie et continue quand x dépasse i ; ceci tient à ce que pour ^ = d= ? , comme précédemment, la fonction devient infinie. Il résulte de la que, pour expliquer certaines propriétés des fonctions,.