PRINCIPES

Ce premier Livre contient les principes d'une nouvelle théorie des fonctions.

\ous adoptons les définitions données par M. Cauchy, et nous les expliquons par des exemples.

Nous étudions ensuite les propriétés des fonctions définies par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable.

Ceci nous permet d'établir, d'une manière nette et précise, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction se développe en série convergente suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous faisons disparaître ainsi les nuages qui obscurcissaient encore le beau théorème de M. Cauchy.

Nous donnons ensuite les propriétés générales des fonctions, celles dont la connaissance sert, en quel([ue sorte, de fondement à cette nouvelle branche de l'analyse mathématique.

DÉFINITIOIVS.

1. M. Cauchy dt'linit de cette manière les fondions d'une variable imaginaire. Soit

z = ,r H-- yi

la variable imaginaire^ si l'on désigne par X et Y deux fonctions réelles quelconques des deux variables réelles x et y, la

quantité

pourra être considérée comme une fonction de z ^ car, à chaque valeur de la valeur imaginaire z^ c'est-à-dire à chaque système de valeurs des variables réelles x et y correspond un système de valeurs de X et de Y, et par conséquent une valeur de u.

La valeur imaginaire z est la réunion, au moyen du symbole V — I, que nous représentons par la lettre /, de deux variables réelles et indépendantes xel j. La variation de z est indéterminée, car on peut faire varier simultanément les deux variables x et j'^, en établissant entre elles telle relation que l'on voudra. Si les deux fonctions réelles X et Y varient d'une manière continue avec x et j^ on dit que u vsV une fonction continue de z.

On se fait une idée très-nette de ( e qui précède, en imaginant que X et j soient les coordonnées rectangulaires d'un point z du plan horizontal, la variation de z sera figurée par la courbe décrite par ce point. Que Ton conçoive, en outre, deux surfaces ayant pour ordonnées verticales, ruiie X , l'autre Y, ces deux surfaces représenteront la fonction «; si le point z décrit dans le plau horizontal une certaine courbe, les extrémités des ordonnées verticales traceront, sur les surfaces, deux lignes dont l'ensemble indiquera la variation correspondante de la fonction u.

i)ÉFr:MTiOx\s '^

On peut aussi représenter la fonction «, eoinnie la variable 2, en supposant que X et Y soient les coordonnées rectangulaires d'un point II du plan horizontal. Quand le point z se meut sur une courbe, le point u décrit une courbe correspondante.

2. Concevons que la variable z reste comprise dans une certaine portion du plan: si la fonction u acquiert la même valeur au même point, quel que soit le chemin suivi pour y arriver, sans sortir de la portion du plan considérée, M. Cauchy dit que la fonction est moiiodrome dans cette portion du plan. Il est clair que, si le point z décrit une courbe fermée quelconque dans la portion du plan considérée, la fonction u revient à la même valeur, en d'autres termes, le point u décrit aussi une courbe fermée.

Une fonction rationnelle de z est une fonction monodromc^ dans toute l'étendue du plan. Il en est de même lorsque X et Y sont deux fonctions rationnelles quelconques de x ^ly\ plus généralement, lorsque chacune des deux surfaces, par .lesquelles nous représentons a couvre tout le plan horizontal par sa projection, et n'a qu'un point sur chaque verticale.

3. Considérons, comme exemple, la fonction définie par l'équation

-Nous supposons que, pour z = o, on a u =z -]- i ; fai- Fig. 1. saut varier z à partir du

point O sur une courbe ({uelconque , nous suivons la variation de z par la continuité. Maïquons le point A qui conespond à la valeur z = — i (Jig' i). Deux chemins très-rapprochés O B M , OCM , allant du point O à un même point M du plan , et ne comprenant pas entre eux le point A , conduiront à une même valeur de u.

4 LIVKE PREMIER.

En eflet, subdivisons les deux chemins en éléments correspondants très-petits O^i , bi b^ ^...-^ O Ci, CiCz^... -^ si l'on va du point O au point voisin bi par le chemin O^i ou par le chemin Oc^ b^^ on arrivera à des valeurs de u peu différentes de la valeur initiale u=:-i- j, et par conséquent peu diflérentes entre elles. Mais cette différence est rigoureusement nulle, car les deux racines de l'équation u^ = z -h i ayant entre elles au point bi une différence finie, on a nécessairement la même racine u^. Partons jnaintenant du point b^ avec la valeur u^ de la fonction comme valeur initiale, et allons au point voisin b^ par les deux chemijis b^b^, b^c^c^b^-^ en vertu du même raisonnement, la fonction prendra au point b.j, la même valeur u^ : mais quand on revient de b^ en Cj , la fonction reprend en c^ la valeur qu'elle avait en ce point, quand on allait de O en Cj -, ainsi les deux chemins 0^2? Oc'a b^ , conduisent à la même valeur Wg de la fonction en b,^. En continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux chemins OBM, OCM, conduisent à la même valeur de la fonction en M.

Il résulte de ce qui précède, que deux courbes quelconques allant du point O au point M, et telles, que l'on puisse, par déformations successives, transformer l'une dans l'autre sans passer par le point A, conduisent à la même valeur de la fonction au point M. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute portion du plan qui ne comprend pas le point A, par exemple, dans le cercle décrit du point O avec un rayon plus petit que l'unité.

Supposons maintenant que l'on aille du point O à un point a voisin du point A (fig' 2), et que Ton décrive autour de ce point une courbe fermée très-petite abcda -, les deux racines de Féqualion différant très-peu l'une de l'autre dans le voisinage du point A , la fonction ne revient pas à la valeur qu'elle avait primitivement en A. En ellet, si l'on pose

Fig. 1.