DÉFINITIONS

Quand z décrit la droite Ort, la valeur de la fonclion reste

réelle et positive et diminue

de -h i à -h r' • quand z décrit ensuite la courbe fermée ahcda , l'angle 6 varie de o à 2?:, la fonclion u acquiert en a la valeur

négative r' e^* ou — r'. Si l'on revient de a en O suivant la droite «O, la fonction reste négative et arrive en O avec la valeur — i, différente de la valeur initiale -h i.

Il est aisé , d'après cela , de comprendre comment deux clie- Fi^. 3, mius OBiAI, OClVI {fig. 3),

comprenant entre eux le point A , conduisent à des valeurs très-différentes de la fonction. En effet, prenons un point a voisin de A et décrivons autour du point A une courbe fermée abc fia '^ le chemin OBM peut être remplacé par le chemin 0«M -, de même, le chemin OCM par le chemin Oabcrla^l'^ car, en déformant le dernier^, on le ramène à OCM sans passer par le point A. Suivons maintenant ces deux chemins OaM, OabcdaM ^ peu différents 1 un de l'autre ^ de O en a les valeurs de la fonction sont les mêmes de part et d'autre. Quand, suivant le second chemin, z a décrit autour du point A la courbe fermée abccla, la fonclion revient en a avec une valeur différente de celle qu'elle avait précédemment^ on part donc du point a avec des valeurs différentes pour parcourir la même ligne a M , et les deux valeurs de la fonction diffèrent de plus en plus.

Ainsi la fonction cesse d'être monodrome dès que la portion du plan considérée comprend le point A. On peut classer les

chemins qui vont de l'origine à un point (|uei(onque M du plan en deux catégories : ceux qui se ramènent au chemin rectiligne sans passer par le point A , et ceux qui ne peuvent s'y ramener qu'en passant une fois par le point A ; les premiers conduisent à la même valeur de la fonction au point M, les autres donnent une autre valeur à la fonction.

Nous avons vu qu'une circonférence décrite autour du point A change la valeur de la fonction. Un second tour reproduira la valeur primitive. Ainsi, tout chemin qui se ramène à un autre en passant deux fois par le point A , conduit à la même valeur de la fonction.

4. Une fonction implicite définie par une équation algébrique entre z et w, présente des circonstances analogues à celles dont nous venons de parler. On part d'un point déterminé z = Zq avec une valeur initiale u = Uq , Tune des racines de Féquation pour z = Zq-^ le point z décrivant une certaine courbe, la fonction ii varie d'une manière continue. Tant que l'on reste dans une portion du plan ne comprenant aucun point pour lequel la fonction u devient égale à une autre racine de l'équation , la fonction est monodrome. Elle cesse en général de Tctre dès que l'on dépasse un de ces points. Les fonctions de ce genre sont l'objet d'un remarquable travail de M. Puiseux, qui a fait voir comment les racines de l'équation se permutent les unes dans les autres quand on tourne autour des points pour lesquels l'équation a des racines égales ('•').