DE LA FONCTION U
il en résulte
ou
(4) fx(«'H-z)=- p(2);
de sorte que ci/ n'est pas ici la seconde période, comme pour
la fonction X. Mais, si l'on ajoute -« on a
la seconde période est — h w'.
L'aire du parallélogramme construit sur les deux périodes
w , - -1- w' de la fonction a est égale à celle du parallélogramme
construit sur les deux périodes w et w' de la fonction 1. En effet, portons, à partir de rorigine, deux quantités géométriques 0«, O^ égales respectivement aux deux périodes w, w', le parallélogramme relatif à la fonction X sera Oacb [fig. 19).
La quantité w' -|- - est figurée par la droite od qui va de Fori-
£;ine au milieu cl de bc ,
Fig 19. »
de sorte que le parallélogramme relatif à la fonction a est O aed. Ces deux parallélogrammes ont leurs aires égales. Ainsi les périodes de la fonction n. partagent le plan en parties de môme grandeur que celles de la fonction X, mais d'une manière différente. Si l'on avait pris 2w' pour seconde période de la fonction a, on aurait eu un parallélogramme deux fois trop grand.
97. La fonction y. admet deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme. Les deux zéros sont
A xA xX ./
/ bl d/ je e/ /
Vo: '/n y
Io8 LIVRE iir.
les deux infinis sont ceux de la fonction ^ (^), savoir
mais ce dernier, par la soustraction d'une période — h w', peut
s écrire z
Nous avons indiqué sur la figure les zéros de la fonction* |n par des points ronds, les infinis par des petites croix. Les deux
périodes w et — h w' constituent un parallélogramme élémentaire, puisque ce parallélogramme ne renferme que deux infinis et deux zéros. En résumé la fonction \k^ définie par l'équation (i) , est une fonction monodrome paire doublement périodique du second ordre; elle jouit de propriétés
analogues à celles de la fonction cos — "-•> relativement à la première période w.
Comme on a /:/ ( — ^ ) = |y. ( s ) , la somme des deux valeurs de z qui, dans chaque parallélogramme, donnent la même valeur de la fonction est constante et égale à zéro, en négli^ géant les mulliples des périodes.
