DE LA FONCTION A
ce qui nous apprend que dans l'équation (2) le radieal a la
valeur initiale — i, et par suite la dérivée -— la valeur ini- ^ dz'
tiale H- i. On en conclut la relation importante
qui n'a pas son analogue dans le sinus, mais dans la tangente.
88. En résumant ce qui précède, on voit que la fonction elliptique, définie par l'équation (i), est une fonction monodrome doublement périodique impaire, ayant pour périodes
, r du , r ^ du
Elle admet dans chaque parallélogramme deux zéros z =z o^
? et deux infinis simples 2 = — » ^ = : elle passe
deux fois par chaque valeur, et les deux valeurs de z, qui correspondent à une même valeur de la fonction, présentent une somme
constante et égale à -• Elle jouit des propriétés suivantes :
k\{z) On a d'ailleurs
89. On peut obtenir ces résultats d'une autre manière. Désignons par o) et w', non plus les deux périodes considérées précédemment, mais deux périodes formant un parallélogramme élémentaire quelconque. Si dans l'équation
A(3)=r->.(Z), Il • Ul l^ j 1 w w' CJ -{- w'
on remplace la variable par 1 une des valeurs o, -5—5 -,
on a
).(o, = -Mo), x^^) = --.(^^j, ■,^^)=-i(^),
lOO LIMIE 111,
ce qui monlie (jue ces quatre valeurs rendent la fonction 1 nulle ou infinie. Comme la fonction s'évanouit avec la variable, z = o sera un premier zéro ^ nous pouvons admettre que le
second zéro est-> ce qui revient à appeler première période le
double du second zéro : car si le second zéro était i rien
n'empêcherait de changer de périodes, et de prendre pour périodes nouvelles a)i = w -f- 0)', 0)', = w'. Les deux infinis seront
. oo' w -f- w'
alors — et •
La somme constante des deux valeurs de z qui, dans un même parallélogramme, correspondent à une même valeur de
la loiiclion, étant ici-, on a
On en déduit et, par suite,
La fonction paire X'(z) admet donc les quatre zéros dz -.
^ 4- — ) . Mais on voit sur l'équation différentielle (i) que la dérivée s'annule quand la fonction X est égale à zb i ou à d= -• On peut toujours supposer
ri
''(4)='' Mj+7)==F
cai
, si Ton avait, au contraire.
il suffirait de changer les périodes et de prendre pour périodes
DE LÀ FOKCTION X. lOl
nouvelles Wj = 'jO -H 2 0/, w'^ = w', ce qui ne changerait rien
d'ailleurs à la disposition des zéros et des infinis.
Les infinis de la fonction X [z) étant respectivement égaux
aux zéros, augmentes de la quantité constante — ? on voit que
les valeurs de 2;, qui rendent la fonction / ( ^ ^ ] ii^finie,
sont celles qui annulent X (2), et réciproquement. Les deux fonctions X ( h^U 7-7-r» ayant les mêmes zéros et les
\2 y -Aiz) -^
mêmes infinis, sont dans un rapport constant; on a donc
j et Ion obtient ainsi la
Si Ton relation
fait
il vient A
, et r
90. Il importe de remarquer la manière dont on a choisi les périodes de la fonction elliptique X (2;), On n'a pas pris un parallélogramme élémentaire quelconque, mais un parallélogramme tel que Ton ait
Les propriétés que nous avons démontrées se rapportent à ce système particulier de périodes, auxquelles nous donnerons, pour les distinguer des autres, le nom de périodes elliptiques. Toutefois, à une même fonction X (z ) correspondent une infiiiitéde systèmes de périodes elliptiques données parles formules
cOi = ( 4 //2 -f- 1 ) w H- 4 '' w% w', = 2 ;?/ w 4- ( 2 «' -h I ) w' ,
dans lesquelles /;/, /i, în\ n' désignent des nojnbres entiers assujettis à la relation
(4 /« + 1 } { 2 // -h 1 ) — 8 um' r= rb I ,
I02 LIVRE m.
relation que 1 on peut mettre sous la forme
(4 fti + l)n' — ^nni'
On peut prendre à volonté les deux nombres m et 7z, pourvu que les deux nombres /\m -\- i et n soient premiers entre eux ^ l'équation précédente indéterminée admettra une infinité de solutions entières des inconnues n^ et n' .
Le signe de la première période w est déterminé par la condition X {j\ =r 4- I, mais celui de la seconde période w' reste arbitraire.
91. L'équation (i), par laquelle nous avons défini la fonction )., renferme deux paramètres arbitraires g et A, et Ton conçoit que les deux périodes o) et w', qui s'en déduisent, puissent recevoir toutes les valeurs possibles ; nous désignerons cette fonction par le signe X (z, g^ A), indiquant ainsi les deux paramètres g et A, dont elle dépend.
Mais on peut ramener la question au cas où^= i ; l'équation différentielle
ne renferme plus alors qu'un seul paramètre A, auquel on donne le nom de module j la fonction elliptf'que qu'elle définit sera représentée par le symbole X (2;, i , A), ou plus simplement A (2, A), en sous-cntendant le premier paramètre qui est égal à l'unité. L'équation (1) pouvant se mettre sous la forme
^(,-rC-)[i-^k^iû),
on voit que
(4) ^>-[^^gy f^)=^^>^{g^,^)'
Si l'on appelle w (^ iJ les deux périodes de la fonction l(z^'k), celles de la fonction A(gZyJi) seiont -et—: ainsi quand on change la valeur du paramètre ^i,s les deux pci iodes
DE LA lOJNCTlOI^ X. lo3
varient dans le mèuie rapport. Il résiille de là ([ue la valeur du module A ne dépend que du rapport des périodes; après avoir déterminé ce module de manière que le rapport des périodes de la fonction X (z, k) ait une valeur donnée, il sera facile ensuite de choisir le paramètre g de manière que la fonction A {^gz. A) admette deux périodes données.
filtre définition de la fonction X.
92. D'après ce que nous avons dit dans le chapitre IV du livre II sur l'existence des fonctions doublement périodiques, on peut concevoir la fonction elliptique X (z), non plus comme définie par une équation différentielle, mais comme une fonction monodrome et monogène doublement périodique du second ordre jouissant de propriétés particulières. Nous savons (n*' 72) qu'il existe une fonction doublement j:>ériodique du second ordre ayant deux périodes données, deux zéros et deux infinis donnés, pourvu que la somme des infinis égale celle des zéros; nous savons aussi que celte fonction est complètement déterminée à un facteur constant près. Que l'on imagine une fonctiony(z) du second ordre aux deux périodes w et w',
admettant les deux zéros o et -> les deux iniinis — et ?
et devenant égale à 1 unité pour 2 = 7 (^'^ qui détermine le
facteur constant) ; cette fonction sera la fonction elliptique X.
jNous remarquons d'abord que cette fonction est impaire: car les deux fonctions /*(2), f[ — 5), ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant; on a donc
/[-z) = C f(z), ou
si l'on fait tendre z vers zéro, il vient
Io4 LIVRE iir.
et, par suite,
Il en résulte
93. Il est aisé de voir ensuite qu'une pareille fonction salisfait bien à l'équation différentielle qui nous a servi à définir la fonction 1. Nous avons démontré en effet (n" 77) que toute fonction doublement périodique, monodrome et monogènçdu second ordre, vérifie l'équation différentielle
Ici, la sommes étant égale à - et la fonction impaire, on a
si l'on pose
il vient
et Féquatlon différentielle se réduit à la forme
CHAPITHE II
DE LA FONCTTON fX.
94. De la fonction X on déduit quelques autres fonctions doublement périodiques du second ordre. L'une, que nous
DE LA FONCTION y.. 103
désignerons par la lettre ^, est donnée par l'équalion finie
(l) ^(z)=rv'l-V(.j,-
à laquelle on joint la condition initiale u (o) = i .
La fonction (X n est pas monodrome par rapport à X, mais elle Test par rapport à z. En effet, c'est dans le voisinage des
valeurs z ==±. y, pour lesquelles X = ± i, qu elle pourrait
acquérir des valeurs multiples j posons
nous aurons, en développant en série convergente pour les valeurs suffisamment petites de z\
'k {y -h z' \ =1-4- az'- -f- hz'^ H- . • . ; la série ne contient que des puissances paires de z', puisque
il en résulte, en substituant, un résultat de la forme
ulj-^z'\ —z' V'a+Bz'- -h. . .;
donc la fonction [^-(z) reste monodrome dans le voisinage de
z = -• Il en est de même dans le voisinafire de la valeur
w La fonction pourrait encore cesser d'être monodrome, quand
Posons
X devient infinie, ce qui a lieu pour z =z — ou z =
Il vient
>,+.M=,^;^, Jî£ + .A v'-.-H^nM.')
Io6 LIVRE m.
la fonclion (j. devient infinie pour ^ = — • mais elle reste nio-
nodrome autour de ce point. Il résulte de là que la fonction p. est monodrome pour toutes les valeurs de la variable z.
95. La fonction ^ est paire. En effet, si l'on fait marcher z, à partir de l'origine, suivant deux lignes opposées, la fonction y. [z) prendra aux points correspondants z et — z^ deux valeurs égales, ou deux valeurs égales et de signes contraires*
, quand z parcourt un premier élément de part et d'autre de l'origine, les deux valeurs de fJt(^), différant très-peu de ft(o) ou de -h I, seront de même signe, et par conséquent rigoureusement égales ^ il en sera de même tout le long des deux courbes. A la vérité, le raisonnement serait en défaut si les
courbes passaient par les points z = zhjiipour lesquels
pt.f^z)=o'^ mais on pourra toujours éviter ces points, et, comme la fonction est monodrome, la conclusion est générale. On a donc la relation
(2) p(-z) = fx(z).
96. Clierclions les périodes de celle fonction : nous avons, trouvé
don(
pi ^-hzM rziz'v/AH-Bz"^
ce qui donne la relation
En ajoutant - une seconde fois, on aura
0) est une première période.
Nous avons trouvé d'auli c part
ll(z') ' '
