Considérons une intégrale définie
dans laquelle f (z) désigne une fonction monodrome doublement périodique de Tordre ii. Si Ton remplace cette fonction par son expression au moyen de la fonction du second ordre 1 [gz yJi), qui admet les mêmes périodes (n^ 78), il viendra
L, M, N étant des polynômes entiers en X {gz). La seconde intégrale, pouvant être mise sous la forme
I r^isdï
s'exprimera aisément au moyen de la fonction 1. Quant à la première, on peut la ramener au cas où la fraction rationnelle
— ne contient que des puissances paires de 1. On a , en effet;,
M __ M^ + IVrX (1Nr~h]\ra) (T/ — I/X) P + Q X L~Lh-L'X~ L'— L"n' ~ R '
L', L", M', IVr^, P, Q, R étant des polynômes pairs ^ d'où
On obtiendra cette dernière intégrale en la mettant sous la
forme
DES QUADUATLES ELLIPTIQUES. l8l
Il reste à étudier Tintégrale
- Pr/z
dans laquelle P et R désignent des polynômes pairs en /.
160. Avant d aller plus loin , nous traiterons quelques exemples particuliers. Soit l'intégrale définie
dans laquelle nous supposons le paramètre § égal à l'unité. La {onction/'(2) n'est pas monodrome^ lorsque z tourne autour de l'un des points qui rendent la fonction X infinie, elle s'ac-
oroit de dz — ^ j mais la fonction F (2 ) = e^-^ ^'^ estmonodrome.
Des deux intégrales rectilignes
0 Jo
la première, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle; la seconde (il est bien entendu que l'on évite
l'infini par une petite courbe) est égale à zb — : si l'on va de
l'origine au point z par le chemin rectiligne, ou au point m(ji-\- intà -\~ z par la ligne brisée nua -{- intù' -\- z ^ on obtiendra la même valeur de F (2) ; cette fonction admet donc les deux périodes co et 2 0()^
On obtient aisément l'expression de la fonctiony^( s) à l'aide des fonctions elliptiques. On a , en effet,
(lu. I , Jk''' -h /-y.' — i^
lor
a ou
f X(3)./3r3llog-
L'inlégi
aie
définie
se
ramène
à la
précédeii
te.
Si roii pose
on a
On obtient anssi très-aisément les intégrales suivantes :
(3) / fA(z)r/3rzr-.ircsin /^À (z),
(4) / V (z)f/3= arcsiîiAfz), Jo
(5) ri(ï.)rf.=.j-iogi±Aiii),
(6) / ^^,.-i, i±iW.
