Proposons-nous maintenant de développer la fonction

elliptique ^(z). Nous posons toujours t =z e " . Aux valeurs

z=: m — \- [in -{- \) —•) ♦ 2 ^ '2

qui rendent la fonction infinie, correspondent les valeurs

dont les modules varient en progression géométrique et les arguments en progression arithmétique. Ces deux séries de

DÉVELOP, DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIRCULAIRES. \yy

valeurs de t fornienl en quelque sorte deux spirales qui, d'une part s'éloignent à l'infini, et d'autre part se rapprochent indéfiniment de l'origine. De l'origine comme centre, avec des

rayons égaiix aux modules de «7 ^ et de «^ ' , n désigng,nt un nombre entier quelconque, décrivons deux cercles, la fonction 1 sera développable en une double série convergente suivant les puissances entières, positives ou négatives de la variable / entre ces deux cercles. Il est aisé de voir que quand le point t tourne indéfiniment sur une circonférence ayant pour centre l'origine, le point z décrit une droite infinie parallèle à la direction r^. 11 en résulte que, si Ton remplace

t par e '^^ , on aura une série ordonnée suivant les puissances de Texponentielle et que cette série sera convergente pour toutes les valeurs de z situées dans la bande déterminée par les parallèles à la direction o), menées par les points

faudra une série particulière pour chaque bande, Supposons d'abord t? = o , le développement relatif à t f^'C -7 s'effectuera entre deux cercles

ayant pour rayons les modules de

—^ et de v^<7> (^t relativement à z

• entre les parallèles G' G, H'H H (fîg- 27) menées à la direction 03

par les points z =

La fonction ^(2) étant impaire et changeant de signe quand on

augmente z de - <^ on a

(■im-l-l)

ioi. Voici (omnient on peut déioriiiiner les coefficients de cotte série. Après avoir multiplié tous les termes par

ZTCZi

e '•" , intefifrons de a -j — suivant le chemin rec-

liligne A'A, nous aurons

dz.

Portons dans la direction w' la longueur OB égale à fz'oo' et

considérons l'intégrale

^[z) e dz,

prise le long du contour fermé A'ACDA', tracé, comme Fin^ dique la figure, de manière à éviter les infinis. La fonction reprenant la même valeur aux points correspondants des deux lignes AC et A'D, les parties de l'intégrale relatives à ces deux lignes se détruisent. D'un autre côté, si l'on augmente n! indéfiniment, la partie relative à CD devient nulle 5 car, si l'on pose z = n'(ù' -\~ -s', on voit que l'intégrale

«■' dz' ,

relative à cette ligne diminue indéfiniment. L'intégrale prise le long du contour fermé se réduit donc à la partie A' A.

On sait que le résidu relatif h l'aire plane A'ACD est égal à la somme des résidus relatifs à tous les infinis compris dans cette aire plane. Ces infinis sont disposés en deux files reclilignes OB et AC. Pour passer de la première file à la

seconde, il suffit d'augmenter z de-; '^^{z) et l'exponentielle

( ?. 777 -h 1 ) —^^-^ e ^ cliangeant de signes à la fois, leur produit re-

prend la même valeur, et,, par conséquent, la seconde file

DÉNELOP. DES FO>CT. KLLIP. E> SÉRIES r.IRCL L VIllES. 1 -9

donue les mêmes résidus que la première. Un iniîiii quelconque de la première file est de la forme [2/1 4- i) ^- si 1 on pose

il vient

et 1 on a à calculer l'intégrale

le long d'un petit cercle décrit autoui' du point (277 + 1)—, ce qui donne

On a ainsi

fi W I

et, par suite,

(VII) >,(.)==*i^ 2 71^, *-(-" + ')

155. De cette série élablie pour la bande comprise entre les deux parallèles menées à la direction oj par les points

z =z — — et z = — î 2 2

on déduit aisément celle qui convient à la bande comprise entre les parallèles menées par les points

(2/2 — 1)0/ ( 2 rt + I ) f,)'

Car si Ion pose

l8o LIVRE IV.

la nouvelle variable z' reslanl comprise dans la première bande, on pourra appliquer la formule précédente, ce qui donne, en remplaçanl z' par z — /?w',

m=:oo

DéveîoppcinenL de la fonction a.

156. Les mômes considéralions s'appliquent k la fonction [x. Celte fonction ayant les mêmes infinis que la fonction A, le développement s'effectuera dans les mêmes bandes. Celt(î fonction étant paire, et changeant de signe quand on augmente

z de -î le développement sera de la forme

En nous bornant à la première bande, nous déterminerons comme précédemment les valeurs des coefficients, et nous aurons

m=.cc

:'^) >^i')-^' SirV--""'-^")

Développement de la fonction v.

157. Celte fonction étant paire et admettant pour première période -? le développement aura la foinie

l^mrczl l\mr:Ei'

v(z) = Co-+-2i^'" V

Nous nous bornerons encore à la première bande, comprise

entre les parallèles (V G , H/ H (fig. 28). Kn intégrant de — j

DÉVELOP. DES FONC.T. ELLll'. E.N SÉRIES CIRCULAIRES. l8

suivant le clicmin roctilii^iie A'A, on a

(z; dz.

Prônons la longueur AE égale à «', et considérons l'intégrale

*^'S- ^^- - / V (2)^/2, prise le loi»g du con-

tour fermé A'AEF^ les portions relatives aux côtés AE, FA' se détruisent^ la fonction v(z) changeant de signe quand on augmente z de w', la partie relative à EF est égale à celle relative à A'A^ ainsi la quantité 2C0 est égale à Tintégrale prise le long du contour du parallélogramme, contour que 1 on

peut réduire à un cercle infiniment petit décrit autour du point z = — • 51 1 on pose

on a (n*^ 100)

et 1 on obtient — pour \uleur de l'intéi^rale, ce qui donne 1< premier cocflicient

Co^rz

On obtiendra les autres coefficients en intégrant suivant

A' A , après avoir multiplié par c '"' , ce qui donne

i8'2 LIVRE ly.

Prenons la loiigueiir AC égale à /^^/)', et coiisidérous l'inlégiale prise le long du contour du parallélogramme A'ACD; la partie relative à CD devenant infiniment petite, quand n' augmente indéfiniment, il suffit d'évaluer les résidus relatifs à la file d'infinis situés dans ce parallélogramme. Si l'on pose

e qui conduit à la valeur

Hi^CO

in V(,vv,".c-o = if

et l'on obtient ainsi ja formu

cos

Déi^elop peinent de la Jonction w[z).

4o8. Les infinis de la fonction xjs (z) sont les zéros de la fonction fJ^ (2) ^ ils sont représentés par la formule

a ces infinis correspondent les valeurs Z rrrzh iq" ; Ic développement sera convergent entre deux parallèles à la direction w menées par les points z = 77 w', 2; r= [n -\- i) 0/. Considérons en particulier la bande comprise entre les parallèles G'G, H' il, menées parles points z =zo^ z = b^' (fig- 29).

Afin de transporter l'origine au milieu de cette bande,

DÉVKLOl». DES FOACT. ELLll». E^ SÉRIES CIRCILAIUES. 1 83

posons

d'où (ii"^ 102)

La question revient donc à développer la fonelioii -y^ dans la bande comprise entre les parallèles menées par les poînt;j

Cette fonction étant paire et admettant la période-? le développement est de la forme

L'intégration le long du concours fermé A'AEF donne le premier coefficient Do^ l'intégration le long du contour A'ACD donne un coefficient quelconque D,„. On obtient ainsi la série

ni ~ i J

On en déduit

m=zi i