Occupons-nous actuellement de 1 intégrale définie
Jo ^-aV[z) Nous avons trouvé au n'' l i3 la relation
9,Ca -h s) Ô;, (a— s) __ >■■ (2)
En prenant les logarithmes et différentiant, on en déduit
si l'on permute les lettres z et a , il vient
e;(z-}- g) ^'Az— y.) __ ^ 6', (g) 2X(a)V(a) G3 (z + a) 0, (z - y.) " 0, (a) ~ V (a) - a'(z)'
De celte dernière relation en déduit par l'intégration
rdz Q,{x)9\{x) 1 A (a) , 03(aH-z} — Z —^ — '- — — — - -A ^^ — - loil ^ « À^)~ e(a)9,(a)^2 ).'(a) ^ 83 (a - s)
Si l'on fait A' [ce) =-•> on aura 1 intégrale cherchée.
Nous avons trouvé aussi au n° 143 la relation
— ^ — T;, x\->, ^ :r=i— /^ A-(a)A- (zj.
0 (a)0; zj , V / V y
l88 LIVRE IV.
On en déduit, en difïérentiant par rapport à a,
d'où
Si l'on fait X^ (a) =^ --? on aura encore l'inlégrale clierchée.
Si le module k est réel et moindre que l'unité, et le paramètre a aussi réel, on emploiera de préférence la formule (i i) lorsque le paramètre a aura une valeur positive plus grande que l'unité, et la formule (i3) lorsque la valeur de a sera positive et moindre c{ue k^; de cette manière la constante a sera réelle. Mais il est deux cas où l'on ne peut éviter les imaginaires, ce sont ceux où le paramètre a a une valeur positive comprise entre P et l'unité, ou bien une valeur négative." Ces deux cas se ramènent d'ailleurs l'un à l'autre. En effet, si Ton
remplace z par j — z' on a •
r dz r i-/,n^{z')
/ i-aV{z) J i.^a-^{a — /.-')y{z') ^
ch'
Posons a' = ; 1 équation précédente ramène l'une à
Fautre les transcendantes qui coriespondenl aux deux paramètres a et a' . Si a' est négatif, a est positif et compris entre Â^ et I.
163, Les intégrales que nous avons étudiées dans les deux numéros précédents sudisenr pour déterminer Fintcgrale
JY(V)dz.
DES QUADRATURES ELLIPTIQUES. iSi)
La fonction rationnelle F (X-) se décompose en parties de la forme AX- ', m étant positif ou négatif, et en termes de la
forme ; ^ r-' "^ étant positif. Occupons-nous d abord des
termes de la première sorte.
dl'" . d\
(Iz dz
dz' dz- \dzj
d\ dn . I
et, en remplaçant -t-î — par leurs valeurs,
-A = ,„ {^m — i) >;"-' — m'-(\ ^- k' ) ).'" + m ( /// -f- i ) k' V"^' ; dz-
d'où
-i) r^'-'r/z— ///^(i-f-A--) / \^dz^m[m-\-\)k' /).'"+' r/2
A l'aide de celte équation, quand on connaitra / 1"'~^ dz et
/ l"'fh, on pourra calculer jf >/"+V/z, et, de même, quand
on connaîtra / l'"-^' dz et / l"'dz^ on pourra calculer
/ X'"-'* dz. Toutes les puissances paires, positives ou négatives, se ramènent ainsi aux deux intégrales
fêy /'■'■'■'=■
que nous avons exprimées à Taide des fonctions O (n^ 161). Ces deux intégiales se réduisent d'ailleurs à une seule, en vertu de la relation (n*' iAi)
a ou
d^\oa:k ,,., I
igO LLVRE IV.
164. Occupons-nous mainlenant des termes de la seconde sorte. Désignons par j la fonction doublement périodique
X' [z) -\-a, dont les périodes sont - et 0/ et qui admet Tin-
fini double — • Si, dans l'équation
on remplace 1^ par j^ — a, il vient
:^,-. ^a[i -^ {i-{- /r)a-h /c'a'] ftz I
— 4(1 -f-/^-h Zk'n)f-^^k\Y\
— 4(i +/M- 3/-'rt) +4/?^r, r/Mogj __ 4fl[i H- (i -f- /-^j^ -f- /■^«-]
Cette équation donnera / —î connaissant / — (n"162). De r équation (i5), on déduit
^=3[i-+-2«(i-4-/^^)4-3/^'^«^]— 4(i-t-^' + 3/-^«)j-f 6^-V'^; flz'
i l'on remplace i-~\ ^^ ~J^ P^^' ^^"^'^ valeurs dans Féqua-
si lion
(Py'" d'Y / ^ Jdr^^
il vient
(16) '^z=.~ ^mini -i) a[i-\- [i^ h-') a -\- k' a']y ^ ' dz-
-^ im [1 m -~i)[i-{- 7. n [i-{- A=)+ ?> k' a']f"'' — 4 m' [i 4- /^-^ H- 3 k'n])''' -\- im {9. m -+- i) k\r"-^-\
DES QLÀDnATl P.ES ELLFPTIQIES. ipi
En iaisant successivenient /// = — i , ni =z — 2 , . . . , on déduira de celle équation
rdz r<h
Des trois transcendâmes de Legendre.
165. On rencontre souvent dans les applications des intégrales de la forme
dans laquelle R désigne la racine carrée d'un polynôme en x du troisième ou du quai lième degré, et/ une fonction rationnelle de X et de H. Cette fonction pouvant s'écrire
t ^i ' ^~ P-f-QR P^^Q'R^
M, N, P, Q étant des polynômes entiers en .r, F el F, des fonctions rationnelles, on a
La première intégrale s'obtenant aisément, il reste à étudivr la seconde
Par une transformation facile, on ramène le polynôme Rà ne contenir que des puissances paires. Soit
si Ton pose
a-\- by ,r = î
on aura (b — a)dY
et Ton fera disparaître les puissances impaires, en assujeltissanl les deux constantes a et b k vérifier les deux relations
(,, a)(^-p) + («- p)(^ — a) = o, [a-y)(b-S)-]-(a ri) ( 6 - 7 ) rz- o,
ou
d'où
2. ah — ( a -f- ^ ) (/7 -h /> ) -h 2 a8 — o , 9.00 — {y -i- fj) (a ~\- h) -^ 2yS = o;
. . .__ 2(ap-7^)
a+^8 — (7 + rJ)
Lorsque le polynôme R^ a ses coefficients i éels^ ce qui a lieu ordinairement, ses racines soiit réelles ou imaginaires conjuguées, et les deux constantes a et h peuvent être supposées réelles. En effet, ces deux constantes dépendent d'une équation du second degré, dans laquelle la condition de réalité des racines est
ou
Si le polynôme R" a ses quatre racines réelles , comme on peut les supposer rangées par ordre de grandeur, la condition précédente est remplie^ si les deux racines a et (3 sont imaginaires et les deux autres réelles, les facteurs a — y, |S — y étant conjugués, ainsi que les deux autres a — c^, (3 — â^ le produit est positif^ enfin si les quatre racines a et j3, y et cJ sont imaginaires et conjuguées deux à deux, les facteurs a — 7, (5 — â étant conjugués, ainsi que a — ô^ B — y, le produit est encore positif.
A la vérité la transformation précédente est en défaut quand
mais, dans ce cas, on a
DES QLAUIIATLRES ELLIPTIQUES. 1 9'^
et, pour faire disparaître les termes de degré impair, il suffît de poser
Nous avons supposé le polynôme R^ du quatiième degré; la même transformation réussit, s'il n'est que du troisième
degré. Soit
R^ = A(x-a)(^-P)(.r-7); en posant, comme précédemment^
a H- by
on auja
( b — a)dy
' vA|7T>y[«-a-h(^'-a)r][^-p + (^-?Tr][«-7-+-(^ — 7)7:
et Ton assujettira les deux constantes « et ^ à vérifier les deux
relations
d'où
^^ = a(p-h7) — PV-
La condition (a — ,S) (a — y) >o étant remplie, on trouvera pour les constantes des valeurs réelles.
Lorsque le polynôme est du troisième degré, on opère plus lapidement la transformation en posant x = a -h X^, a désignant une racine réelle.
Nous admettrons donc que, dans l'intégrale
, , dx
le polynôme R^ ne renferme que des puissances paires. Ou
194 IIMIE I\ .
peut supposer aussi que la fonction rationnelle F (x) ne renferme elle-même que des puissances paires; car si l'on met celte fonction sous la forme
M, N, P, Q désignant des polynômes pairs, F^ et F2 des fonctions rationnelles, on a
On obtient aisément la seconde intégrale en posant x^ =y] il reste donc à étudier l'intégrale
dans laquelle R désig?)e la racine carrée d'un polynôme pair à coefficients réels, ^
R = VA (i -h mx^) ( I + m'x' ) .
