Nous nous proposons mainteiiant de réduire ce radical

à la forme \/(i — ^^) (i — A^X^), qui convient aux fonctions

elliptiques, et de manière que le module k soit réel et moindre

. , . dx

que Tunité-Il faut pour cela tiansformer l'expression -— en une

autre de la forme

Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que les trois coefficients A, m, m' sont positifs ou négatifs.

i^»- Cas. A=a% m^— h\ m' = — h'\ h > h'. On posera

d'où

d,T dl

2' Cas. A=a% in = — h-, „/ = k'K Le radical u'étanl

DES QLADRATURES ELLIPTIQUES. IQ^

1 éel (|iraiitant que x varie de o à j , on posera d ou

y Cas. k=a\ m = h\ m' == h'\ h^li. ^rpouvaut varier de o à oo , on posera

d'où

4' <::«.. A=-«% m = -h\ ,n' = li'\ X variant de -

h a 2c , on posera

d ou

5" Cas.k=-a% m=-h\ m' = -h'\ h>lJ. x vanant de - a —, on posera

''-sf^^'^W^-^

i'où

cIt. ^x

' Nous laissons de côté le cas où le radical serait toujours ima- ^iiaire. Dans toutes ces transformations, le module est réel, et

ïg6 11 VHP: ïv

moindre que ruiiilé. L'iiiU'giale

est ainsi ramenée à la forme

Al représentant, comme à l'ordinaire, le radical

Cette intégrale est celle dont nous nous sommes occupés au commencement de ce chapitre; car si Ton pose

— z= dz .

1 désignera la fonction elliptique À (z, A), et l'on aura

167. 11 résulte de ce que nous avons dit aux n°^ 1G3 et 164, que toutes les intégrales de la forme

dépendent des trois intégrales

r ^ dx r ^ .r^ dx Ç ' (Ix

/ Ax ' A.r / (/ — ax"^) Lx

C'est en cheichant à réduire l'intégrale

f{x,K)dx

à ses éléments les plus simples que Lcgendre a été conduit aux trois transcendantes dont nous venons de parler. Pour lui,x était la variable indépendante, (1 la valeur de l'intégrale la fonction. Il a abordé ainsi, par les fonctions inverses, la théorie des fonctions doublement périodiques. Aussi la double périodicité, qui est le caractère fondamental de ces fonctions^ lui avaitelle échappé complètement.