SUITE DE LA TRANSFORMATION

230. On peut, avec Abel, généraliser le problème de la transformation et se proposer de déterminer ^1 et /.j de manière que Téquation

ait une intégrale définie par une équation algébrique

entre les variables x et y. Si Ton continue de désigner par z une variable auxiliaire liée aux variables x eiy par la relation

(3) rf. = ^^ = ^f,

g\ ^y Lx on aura

Soit IN le degré de l'équation (a) par rapport à / ^ w, oV les périodes de la fonction elliptique 1 (^, A) ^ w^, w, celles de la fonction X(^, r,/rj). Supposons que l'on ait remplacé dans l'équation (2) x ei y par leurs valeurs en fonction de ^; quand z augmente d'un multiple de w, x ne change pas^ or à chaque valeur de x correspondent seulement N valeurs de y\ il en résulte que y ne doit pas changer lorsque z augmente

SUITE DE LA TIlANSFORMATION. 2^1

d'un cerlaiii multiple de o) : le même raisonnement s'applique à la période w'. Ainsi il faut que l'on ait

( m' oi' =p\ Wi4- ^', w'i ,

'w? fhi Çi étant des entiers que l'on peut supposer non divisibles par un même nombre , et de même m'. p\ , c/\ .

231. INous allons démontrer que ces conditions sont suffisantes. Sur le plan, dans lequel sontfiguréesles variations de z^ marquons les points a,, «., «3, . . . , a\ , a[ ^a\, . . . , qui correspondent aux valeurs w, 2w,..., w', 2 w',..., attribuées à ^5 par les points a\ , a\, a'^ , . . . , menons des parallèles à oa , et par les points «i, «g, «3, • • • , des parallèles a oa\-^ opérons de même avec les périodes w^, où',. Le plan sera ainsi partagé en deux systèmes de parallélogrammes élémentaires qui correspondent, les premiers à la fonction x, les seconds à la fonction j. Les équations (5) expriment que les points a,„^ «g,,, «3m 5 . • • , rt'm', «'amS . ' • , sout dcs sommcts communs aux deux systèmes de parallélogrammes; les droites du premier réseau qui passent par ces points, se coupent en d'autres points qui sont également des sommets du second réseau^ l'aire de chacun des parallélogrammes formés par ces droites est égale à mm' fois celle du parallélogramme élémentaire de la fonction jc et à Piq\—p\Çi fois celle du parallélogramme élémentaire de la fonclion } .

Mais il peut arriver que les parallélogrammes renferment dans leur intérieur des points communs aux deux premiers réseaux. Pour former le troisième réseau de manière que ses sommets comprennent tous les points communs aux deux premiers, on fera mouvoir parallèlement à elle-même la droite oa^ jusqu'à ce qu'elle passe par une seconde file de sommets communs Cl, Cs , C3 , . . . • puis on joindra l'origine à l'un quelconque de ces points, au point Cj par exemple; par les points «m5«s,n, «3m>..., OU mèucra des parallèles à ocj ; enfin on prendra sur oCi des longueurs 0Ci= Cic'j= c',c" ,... , et l'on mènera par les points c',, c" ... des parallèles à o«i.

'J.'jf\ LIVRE V.

rées, la première an deginvAs, la seconde au degré mh. De celle intégrale particnlière on déduit aisément l'intégrale générale de Téquation (i) pour le système de valeurs g-j , /tj considéré 5 cette intégrale est donnée par Téquation

C étant une constante arbitraire.

Ainsi, à l'aide de la fonction auxiliaire au module K, la cjucslion proposée se ramène immédiatement à celle traitée au cliapitrc IV, et l'équation entre x et y peut toujours être mise sous une forme telle, que les variables soient séparées. 11 résulte également du chapitre m, que cette équation est résoluble par rapport à chacune des variables.