KM

Enfin l'équation (4) devient

Posons

l'équation (32) donne

\xil p^ puis l'équation (29)

a68 LIVRE V.

Substituant dans l'équation (3o), on obtient l'équation entre les modules

(33) p^-q^z=ipq{l-^p^q^).

De l'équation (3i) on déduit

La substitution dans la formule (i5) donne la formule de transformation

(3i) X q{^p^-q)^pe^2

En éliminant X* ( — J entre les équations (12) et (i3), on obtient l'équation modulaire sous la forme

qui se ramène aisément à l'équation (3o).

Si l'on suppose /? réel, positif et moindre que l'unité, l'équation (33) a une racine réelle comprise entre o et p, une seconde racine réelle comprise entre — i et — p et deux racines imaginaires. La racine positive correspond à la division de la période o), la seconde racine réelle à la division de la période w'.

Transformation du cinquième degré,

229. Les équations (24), (26), (5), (7), (4) donnent de la même manière que dans le cas précédent,

(36) ^,ii=., + 2[i(a)X(3«)],

REMARQUES SLR LA TRAWSFORMATIOIV. 269

dans lesquelles a désigne , pour abréger, la quantité — • Si l'on pose

on déduit des équations (Sp), (35), (36),

ip\\-^rpr)

Eliminant entre les équations (37) et (38) le binôme X* ( 2a) -f- X^ (4a) , puis substituant à la place des quantités leurs valeurs, on obtient l'équation modulaire, qui peut prendre les diverses formes suivantes :

(4o) p^—q'^^5p^-q^p^—q^) — ^pg[x-p^rj^) = 0,

(40 [fL±l\^l^LPL.llUL,

\p—qj i—p^ 1+^4

(42) {p^-X-q-'-)(p^-q^}-^pq(l -^ pq^^) [i — qp^) = o.

L'une des équations (33) ou (34) donne ensuite la valeur de X' (2a) 4- X^ ( 4 a ) , on trouve

d'ailleurs, on a

il en résulte

a^O LIVRE V.

d'où, eniin, la formule de transformalion

g' i-^pg'-p(p' + g')[g-\-p')x-^+P'q[fi -\-p^)x* '