SUITE DE LA TUAJSSFORMATIOJV

Si ^1 n'est pas vée\^p\ et q^ seront différents de zéro, et Ion tire des équations {12)

m' (/, p^ -4- [in p^ — rnp\)o — mp\ ■= o ;

donc il faut alors que p soit racine d'une équation du second degré à coefficients entiers , et par suite de la forme

«-+- hsj—c

<7, b^ r/, c étant des entiers dont le dernier est nécessairement positif. On aura, en outre

(.4) „=pi±±i='':±L^.

Réciproquement, si les quantités 0 et ^1 sont de la forme (i3) et (i4)î les fonctions X (^1 ( z -h a), A) et A (z, /r,) satisferont à l'équation (i). En effet, ces relations peuvent s'écrire

d' £^^ — a' do — a 1

ou

d' g^ — a' dp — a d' g^ — a' do — a

qui prennent la forme (12).

2^. On suppose

/•,=: k' =: Sjl— k\

On a alors

d'où

im'g,pi = ^p\p — q\

Supposons A réel et p ^^ n , /• étant réel \ pour que ^1 soit réel, il faut faire ^', = ^1 = o , il en résulte

<r .ÎZ!r=r

'^y6 LIVRE V

c'rst-îi-dire

2\ p,m' ^ V mm'

Si l'on lie demande pas que^i soit réel, p devra être racine d'une équation du second degré à coefficients entiers, ou de

la forme ' il faudra ensuite que Ton ait

et cela suffit.

^'M. Revenons au cas général. Désignons par ^i lerapportdes

périodes — • Si les fonctions aux périodes w, o)' et Wj, w' sont

liées par une équation algébrique, il faut que Ton ait

^ A + Bp.

^ C+Dp.*

Supposons cette condition remplie. Parmi les divers systèmes de périodes qui la vérifient, si l'on prend ceux qui satisfont

aux relations

w = ka -f-lUV,

on sait que la fonction aux périodes H, Vl! s'exprimera algébriquement par la fonction aux périodes w, oV. Pour qu'il y ait une relation algébrique entre celle-ci et la fonction aux périodes «i, w', , qui a même module que la fonction aux périodes 12, fi', il faut également qu'il y ait une relation algébrique entre les fonctions dont les périodes sont respectivement o)i, b)\ et n, i)I . Si le rapport p^ n'est pas de la forme

a -^ h J^^' .1 p , 1 an'.

^ ■> il faudra que le rapport — =— soit commen-

d ^ ^^ Wi 0),

11 • • 1 1 r a -h h si — c ,

surable; mais si le rapport px a Ja lorme )~~~ ' ' y^^-

port — n= — pourra avoir une valeur quelconque de la forme

ÉQUATlOJs' DIïFÉREWïlELLE EISTllE LES MODULES. 277