CHAPITRE YIII

ÉQCATION DIFFÉREI^TIELLE EJNTRE LES MODULES.

Equation différentielle entre le module k de la Jonction 1 (^, k) aux périodes elliptiques oj, w', et le module ki de

fa Jonction / (^i z, ki) aux périodes elliptiques - i o/. 235. Considérons les deux intégrales définies

Jo \\— a'

ces deux intégrales étant prises le long d'une même ligne quelconque menée de l'origine au point // = i . On a

B =3 1 ~^=,,,^ — _____ du Jo y I — 11^ y/ 1 — k- lu

r' du r' n-rU

~Jo s/{i— ir){i— A' ir) Jo Vi— n'-){i—A''u')'

Mais en intégrant par parties, on obtient

Jo \/i — it-- V I — ^' "-' ! v/( ï — ^ " "^ y — *~^' r ' ^'^ L r * ^^

d'où

^ f s/il ^ n-^) (1— A' u'Y Dérivons maintenant par rapport au module A les intégrales^^

A et B, il vient

Il' du

dk / J

(, //îWl>^2»M3

du

c'est-à-dire, d'après la relation (3),

(4) , = A+___, ou B = (a + X )(,-/.).! On a de même

(5) /.1?:^B-A, OU AnzrB-X'-^.

«A dk

Si on élimine B entre les équations (4) et (5), on trouve que A satisfait à l'équation linéaire du second ordre

L'une des valeurs de A, celle qui correspond à l'intégrale

rectiligne,est-^; puisque l'équation (6) est linéaire, w est l'une

des solutions de cette équation. Les diverses valeurs de A sont comprises dans la formuler

Kr=r. m-y -\- n -1 4 2

dans laquelle m et n désignent des entiers quelconques j donc l'intégrale générale de l'équation (6) est

A ~ C w -I- C w', ou

^ C du ^, r' du

Jo sl[i-~ u'')(i~ k-'u') Jo <J(i— u' (i—k"u')

C et C étant deux constantes arbitraires. M