PRÉFACE

La première Partie de cet Ouvra ^^e est consacrée à l'exposition d'une théorie des fonctions, d'âpiiUesideesdfiXail£%- Le principe fondamental de cette théorie est la considération des fonctions d'une variable imaj>inaire. Il apparaît pour la première fois dans le Mémoire célèbre de 1 826 sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. Depuis, par les travaux de Cauchy et des géomètres qui ont suivi ses traces, il a reçu des développements tels, et a conduit à la découverte d'un si grand nombre de vérités nouvelles, que son importance est aujourd'hui universellement reconnue. Cependant on constate avec regret que, dans quelques ouvrages consacrés à cet ordre de recherches, on ne rend pas à Cauchy la justice qui lui est due.

Dans la théorie de Cauchy, la marche de la variable imaginaire est figurée par le mouvement d'un point sur un plan. Pour représenter les fonctions qui acquièrent plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable, lliemann regardait le plan comme formé de plusieurs feuillets superposés et réunis par des soudures, de manière que la variable puisse passer d'im feuillet à un autre en traversant une ligne de raccordement. La conception des sur-

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faces à feuillets multiples présente quelques difficultés ; malgré les beaux rés*iltats auxquels Riemann est arrivé par cette méthode, elle ne nous a paru présenter aucun avantage pour l'objet que nous avions en vue. L'idée de Cauchy se prête très-bien à la représentation des fonctions multiples ; il suffît de joindre à la valeur de la variable la valeur correspondante de la fonction, et, quand la variable a décrit une courbe fermée et que la valeur de la fonction a changé, d'indiquer ce changement par un

indice.

Pour étudier la variation de la fonction, quand la variable z est

très-grande, on pose z .- ^, et l'on donne à z' des valeurs trèspetites; la nouvelle variable est figurée, comme la première, par le mouvement d'un point sur un plan. Si l'on conçoit que les deux plans relatifs aux variablesr z et z' soient tangents à une sphère aux extrémités d'un diamètre, on remarque que les droites qui joignent les deux points correspondant aux extrémités du diamètre percent la surface de la sphère en un même point; on transporte ainsi sur la sphère les deux figures planes. Cette considération delà sphère, due à M. Neumann, est commode dansl'étude des fonctions algébriques, elle simphfie les énoncés : nous l'avons adoptée dans cette seconde édition. Toutefois, nous ferons remarquer que le raisonnement reste le même ; après avoir étudié la marche de la fonction pour les valeurs finies de z, sur le premier plan, il est nécessaire d'opérer la transformation z -- 7» et d'étudier comment se comporte la fonction dans le voisinage du point z' = o, sur le second plan; on réunit ensuite les deux parties de la démonstration à l'aide de la sphère. Ceci nous donne

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l'occasion de répondre à des critiques qui nous ont été faites au sujet de quelques théorèmes contenus dans la première édition de cet Ouvraiçe ; on oubliait sans doute la seconde* partie de la démonstration, sur laquelle, pour éviter les longueurs et les répétitions, nous n'avons pas toujours assez insisté.

Après cette étude générale des fonctions, nous nous occupons spécialement des fonctions doublement périodiques. Les fonctions elliptiques sont les plus simples d'entre elles. Ce sont les intégrales elliptiques qui se sont présentées d'abord dans le Calcul intégral ; elles ont é\^ étudiées à ce point de vue, dès i 786, par liCgendre, qui en a trouvé un grand nombre de propriétés; le grand Traitédes Fonctions elliptiques, publié en 1826, contient le résultat de ses longues et patientes recherches. Abel, le premier, en 1826, a considéré les fonctions elliptiques proprement dites, qui sont les inverses de ces intégrales, et a reconnu l'existence des deux périodes. Vers la même époque, Jacobi s'est occupé du même sujet, et les immortels travaux de ces deux grands géomètres ont paru dans les premiers volumes du Journal de Crclle.

Les recherches d' Abel ne se rapportent pas seulement aux transcendantes elliptiques, mais à d'autres transcendantes d'un ordre plus élevé : il a découvert à ce sujet un théorème que l'on regarde comme une des plus belles conquêtes de l'Analyse moderne. La considération du chemin suivant lequel s'effectue l'intégration, d'après les principes posés par Cauchy , était nécessaire pour donner à ce théorème son sens précis et sa vraie signification. C'est en suivant la voie ouverte par Abel qu'un grand nombre de géomètres éminents de notre époque ont enrichi la Science de leurs brillantes découvertes.

IV IMIÉFACIÎ.

Nous devons rappeler que M. Liouville a exposé, dans un cours professé au Collège de France, une théorie des fonctions elliptiques basée sur la considération de la double périodicité. Le programme de ce cours a été publié dans les Comptes rendus de i85i . Les savantes leçons de l'illustre géomètre, et les beaux travaux de M. Hermite sur le même sujet, ont été le point de départ de nos propres recherches. Nous devons beaucoup aux affectueux conseils que M. Hermite a bien voulu nous donner pour cette seconde édition de notre Ouvrage.