CHAPITRE PREMIER
1. On appelle quantité imaginaire une expression de la forme X -h j V~ ' » J^ns laquelle x Qi y sont des quantités réelles, positives ou négatives. Pour simplifier l'écriture, nous représenterons le symbole \j—i par la lettre i.
En désignant par r un nombre positif et par 0 un angle, on peut poser X = rcosîJ, r= rsinô, et la quantité imaginaire se met sous la forme r(cos5 -;- l'sin^). Le nombre positif r est \è module, l'angle Q y argument (\q la quantité imaginaire. Le module d'une quantité imaginaire est parfaitement déterminé; mais l'argument admet une infinité de valeurs formant une progression arithmétique, dont la raison est 27:.
Si dans un plan on trace deux droites rectangulaires Go? et 0/ (y?^. i), on peut figurer la quantité imaginaire x -h yi par le point 2, dont les coordonnées sont x et y. Le module r est la longueur de la droite Os qui joint l'origine au point z, l'argument ô est l'angle que fait cette
droite avec Taxe fixe Ox, angle positif ou négatif, suivant qu'une droite, partant de la position initiale Ox, le décrit en tournant de 0^ vers Oj, ou en sens inverse.
On dit qu'une quantité imaginaire z = oo -^- yi varie d'une manière continue, lorsque les deux quantités réelles œ et y varient d'une manière continue. Cette variation est figurée par la courbe que décrit le
Fig. I.
point z. Le module varie d'une manière continue et aussi chacun des arguments. Il y a exception toutefois lorsque la quantité s'annule, c'est-à-dire lorsque la courbe passe par l'origine; dans ce cas, l'argument éprouve une variation brusque égale à tt, si la branche de courbe décrite par le point z admet une tangente unique au point 0.
* Fonctions d^une variable imaginaire.
2. Lorsque deux variables imaginaires z et w sont liées entre elles de telle sorte que la variation de l'une entraîne celle de l'autre, on dit que les deux quantités sont fonctions l'une de l'autre. On dira, par exemple, que u est fonction de z, et l'on indiquera cette dépendance par la notation habituelle u = f{z).
Lorsque la quantité u varie d'une manière continue, quand le point z se meut dans une certaine partie du plan, on dit que la fonction est continue dans cette partie du plan. Si l'on représente la fonction, comme la variable, par un point m situé dans le même plan ou dans un plan différent, quand le point z décrit une ligne, le point u décrit une ligne correspondante.
Dérivée.
3. Soient z et z' deux points voisins situés dans la partie du plan considérée; lorsque le rapport
tend vers une même limite, quand le points' se rapproche indéfiniment du point z, d'tine manière quelconque, cette limite s'appelle la dérivée de la fonction; nous la représenterons, suivant l'usage, par la notation/'(^).
Dans tout ce qui suit, nous ne nous occuperons que des fonctions qui admettent une dérivée. A cette propriété correspond une propriété géométrique remarquable.
Si Ton pose
' /'(2)=: rt(cosa-hi sina),
z' — z = p(cos0 -4- z sin 0),
Z^ = '^^^lil'f^^ =/'(^) + ^= (« + e'}[cos{« + t") 4- zsin(« + e")],
la quantité imaginaire e tendant vers zéro, ainsi que îes deux quantités réelles e', s", quand le point z' se rapproche du point z. On en déduit
7<'— Mr=:p(a-f- e' ) [cos (0 -f- a -f- e") -I- isin(9H-a + e")];
le module de u' —u est p(« + e'), son argument 5 -h a + e". Supposons que le point z' décrive une courbe zz^ [fig. 2) ayant une tangente zfli au point z\ quand le point z' se rapproche du point z, l'argument Q de z' — z tend vers une limite 5, qui est l'angle de la tangente z«, avec l'axe ox\ l'argument de u' — u tendant vers la limite (9, + a, on en conclut que le point u' décrit une courbe wm, , ayant une tangente lû)^ , dont la direction est définie par l'angle ^, -\- a.
Concevons maintenant que le point z' décrive successivement deux courbes rz, , zzj, ayant des tangentes za^ , za^, dont les arguments sont 5,
et ^2; le point u' décrira deux courbes mm,, mmj, ayant des tangentes m^, , mZ>2, dont les arguments sont ^< + a, O2+ ex.', l'angle b^ub2 est égal à ^2— ^1» et par conséquent à l'angle a^ za^. Ainsi, lorsqu'une fonction u =/{z) admet une dérivée, les courbes décrites par le point u se
Fig. 2.
coupent sous les mêmes angles que celles qui sont décrites par le point 2. Ceci suppose toutefois qu'au point z la dérivée n'est pas nulle.
4-. Il résulte de là qu'une fonction ayant une dérivée donne un mode de transformation des figures planes dans lequel les angles sont conservés. Pour en montrer un exemple bien simple, considérons la fonction u = -'
Si l'on pose
z T= r{ços6 + is'mO),
n^=: -(cos9 — i sin6).
Quand le point z' décrit le prolongement zl [fig^ 3) du rayon vecteur, le point u' décrit la droite mO, en se rapprochant de l'origine; à la courbe zz, correspond la courbe mm,, et l'angle è,MO est égal à a^zl. Faisons tourner la seconde figure autour de l'axe Oo;; le point u s'applique en m sur le rayon vecteur Oz, et la courbe mm, prend la position
mn-, les tangentes za,, me aux courbes zz,, m/î font des angles égaux avec le rayon vecteur; c'est la transformation par rayons vecteurs réciproques.
5. Concevons que le point z décrive deux séries de lignes orthogoliales, par exemple deux séries de droites, parallèles, les unes à l'axe Oa;,
Fig. 3.
les autres à l'axe Oy\ le point u décrira aussi deux séries de lignes- orthogonales. Ainsi toute fonction qui admet une dérivée transforme un système de lignes orthogonales en un autre. Considérons, par exemple, la fonction u = z^\ si l'on pose
on a
aux droites
z — r{cosQ -h /sinô),^ ^/ = ^'(cos6'+ i sinÔ'j, rsin0 = 6, rcosô — a,
respectivement parallèles à Ox et à Oj, correspondent les paraboles homofocales
26' . sa'
