LA FONCTION

conséquent plus petite que la limite S'; elle tend donc vers une limite S inférieure à S'.

Lemme III. — Étant donnée une série à double entrée, à termes réels, positifs ou négatifs, lorsque la série que Von obtient en remplaçant chaque terme par sa valeur [absolue est convergente, la série proposée est aussi convergente.

Soient S), la somme des termes enveloppés par une courbe C« dans le second tableau, S„ celle des termes enveloppés par la même courbe dans le premier tableau; parmi ces termes, les uns sont positifs, les autres négatifs; appelons P„ la somme des premiers, Q„ celle des seconds; on a

La somme S^ tendant vers une limite S', quand n augmente à l'infini, les deux quantités positives P,, et Q„, qui vont en augmentant et qui res tent inférieures à S', tendent respectivement vers des limites Pet Q; leur différence S„ tend donc vers une limite égale à P — Q.

Lemme IV. — Lorsqu'une série à double entrée, à termes imaginaires, est telle que la série formée par les modules de ses termes est convergente, elle est elle-même convergente.

Un terme quelconque du tableau est de la forme a -i- bi; son module est sja- -h b^ ; on suppose que le tableau des modules est convergent. En vertu des deux lemmes précédents, le tableau formé par les quantités réelles a est convergent, et de même celui qui est formé par les quantités b. Appelons S^ et S^ les sommes des termes enveloppés par une courbe C„ dans ces deux derniers tableaux; la somme S„ des termes enveloppés par la même courbe dans le tableau proposé est égale à S^-i- i^"„. Puisque S^ et S^ tendent vers des limites respectives S' et S", la somme S„ tend vers une limite égale à S' h- ïS".

Comme application de ces principes, nous pouvons remarquer que les deux séries

dans lesquelles la quantité^ a un module inférieur à i, représentant un même tableau, évalué par lignes Ijorizontales ou par colonnes verticales, ont la même somme.

On a de même

, <y(i-i-yM <?'(L±J[!l ('?!fj^^^) :

2</' I + Çf'

3jf^

+ ^.--y— -— arctangy/y -arctangv/^M arctangv'^'—

69. Théorème II. — La fonction B[z) est holomorphe dans toute V étendue du plan.

Nous avons défini la fonction 0(55) par la série

Si Ton remplace chaque exponentielle e"^ par la série linéaire qu'elle représente, on a une série à double entrée

e» •' — — e^'» H e2-fl

Concevons que l'on remplace chaque terme par son module; les lignes horizontales étant convergentes et, de plus, la série

LA FONCTION 0. iil

formée par les sommes de ces diverses séries linéaires, étant elle-même convergente, on conclut, d'après le premier lemme, que le tableau des modules est convergent. En vertu du lemme IV, le tableau proposé est aussi convergent ; on peut l'évaluer par lignes verticales ; la fonction 9 (z) sera alors représentée par une série

0(z) -— Mo -f- M, Z -f- Ui 2' f- M, 3' -f . . . ,

ordonnée suivant|les puissances entières, positives et croissantes de la variable z, et convergente quel que soit z. On en conclut que la fonction monotrope 6(z) est continue et admet une dérivée, en un mot qu'elle est holomorphe dans toute l'étendue du plan (Livre II, Chapitre ï). Remarquons que les coefficients u^, //,,..., à indices impairs, sont nuls.

70. Théorème III. - La fonction Q{z) est paire et simplement périodique.

Remplacer jsjpar — z dans l'expression

revient à permuter dans la série les termes qui correspondent à des valeurs de w égales et de signes contraires; on a donc

Chacun^ des termes de la série étant périodique et admettant la période 2 7ri, la fonction 6(z) est elle-même périodique et admet la même période; on a donc

(3) 0(2 + aiTi) =0(2).

71 . Théorème IV. — La lettre m désignant un nombre entier quelconque, on a

(4) 0(2 -f- 3 ma) --: e-'"(*+"'")0(2).

En effet, nous pouvons mettre la fonction S{z) sous la forme

(5) eiz) = e~^ Se'^^"^'""'\

Si l'on remplace z par z -t 2ma, on a

0 ( 2 + 5! ma ) = ^- '" (*+"««) €~ '^ \ «'^

d'où l'on déduit la relation (4).

En particulier, pour m = i , on a

72. Théorème V. — La fonction @{z) s' annule pour toutes les valeurs de z comprises dans la formule

dans laquelle m et m' sont des nombres entiers quelconques.

On a, en adoptant la forme (5), et désignant par m, un nombre entier fixe.

Les deux exponentielles sont égales et de signes contraires, lorsque la différence (a/^ — m, )(z — m<a) des exposants est un multiple impair de ni; on satisfait à cette condition, quel que soit n, en posant m4=.:3m'+i et r — /w,a= {2m-r 1)7:1; chacun des termes de la dernière somme étant alors nul, la somme est nulle. Ainsi la fonction Q{z) s'annule pour chacune des valeurs de z représentées par la formule (7). Nous démontrerons plus tard que ces valeurs sont les seules qui jouissent de cette propriété.