L\ FONCTION

66. An début de leurs admirables travaux sur les fonctions elliptiques, Abel et Jacobi ont été amenés à considérer une fonction nouvelle qui joue un rôle très-important dans l'analyse; mais c'est à Jacobi que l'on doit la découverte de ses principales propriétés.

Théorème \. — La série

dans laquelle a désigne une quantité constante dont la partie réelle est négative^ est convergente.

En effet, le terme de rang n, à partir du terme i vers la droite, est

si l'on pose a — a' -^ a"i, z =^ x -+-yi, son module est

mod.M,, — e»'+"''»'; le nombre

Ç'mod. u„ = e'+"^

tendant vers zéro, quand n augmente indéfiniment, la série, prolongée vers la droite, est convergente.

Le terme de rang n, à partir du terme i vers la gauche, est de même

M. — a — nz+n^a • —I» — *> y

le nombre

v'mod. M„ - «-'+"«'

tendant vers zéro, la série, prolongée vers la gauche, est aussi conver-

i06 LIVRE II. — CHAPITRE ITI.

gente. Ainsi, lorsque la partie réelle a' de la constante a est négative, la série est convergente quelle que soit z\ cette série définit donc une fonction de z finie et monotrope dans toute l'étendue du plan. Nous la désignerons par ©(s), et nous écrirons

jiu-l-n'o

Séries à double entrée.

67. Pour démontrer que la fonction ^(z) est continue et admet une dérivée, nous nous servirons d'une propriété générale des séries à double entrée. On dit qu'une série à double entrée est convergente lorsque la somme des termes enveloppés par une courbe de forme quelconque tend vers une limite déterminée, quand cette courbe s'étend à l'infini dans tous les sens.

Lemme I. — Lorsqu'une série à double entrée, à termes réels et positifs y est convergente pour une première suite de courbes qui s'étendent à r infini dans tous les sens, elle l'est aussi pour une autre suite de courbes, et la limite est la m,ême.

Une série à double entrée est représentée par la^^. 38.' Soient Co, C,, Ca,-.. une première suite de courbes fermées s'étendant^^à l'infini dans tous les sens, c'est-à-dire telles que l'on puisse prendre n assez grand pour que la courbe C„ et chacune des suivantes C„+,, C^+o'--soient extérieures à un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon donné; appelons S^ la somme des termes enveloppés par la courbe C;^; nous supposons que, lorsque n augmente indéfiniment, la somme S« tend vers une limite S. Soient Gq ,C\, Gg > . . . une seconde suite de courbes fermées s'étendant aussi à l'infini dans tous les\sens, et désignons par S^, la somme des termes enveloppés par la courbe G1-. Une courbe C„ de la première suite étant donnée, traçons une courbe C^, de la seconde suite enveloppant la courbe C„, puis une nouvelle courbe C^+p de la première suite enveloppant G],,; on a

On <^ ^,,' "C, Ofi

LA FONCTION 0. t07

Quand n augmente à l'infini, les deux sommes S„ et S«+p tendant vers la limite S, la somme S|., tend vers la même limite.

Nous avons supposé, dans ce qui'précède, que les deux courbes variables ce étaient fermées. Le théorème subsiste quand l'une des courbes ou toutes les deux sont ouvertes. Supposons d'abord la courbe G fermée et la courbe C ouverte, comme une parabole, ou l'ensemble de deux droites parallèles AB, CD situées de part et d'autre du terme central ««o ;

Fig. 38.

la partie du tableau intérieure à la ligne C est celle dans laquelle se trouve ce terme central aoo- Une ligne C^, étant donnée, fermons-la par des arcs de courbe arbitraires et traçons une courbe C,„qui enveloppe la partie du plan ainsi déterminée; la somme des termes situés dans cette partie du plan est plus petite que S,„, et par conséquent plus petite que S; si l'on éloigne indéfiniment les arcsqui ferment la courbe C^,, la somme tend vers une limite S^,, plus petite que S; cette limite étant indépendante des arcs auxiliaires, nous dirons qu'elle est la somme des termes situés à l'intérieur de la courbe Cl,. Cela posé, une courbe C„ étant donnée, traçons une ligne C„, extérieure à la courbe C„, la somme S„ étant plus grande que S„, on aura

ainsi, quand n' augmente à l'infini. S],, tend vers une limite égale à S. Considérons maintenant le cas où la première courbe C est ouverte,

la seconde C fermée. Nous supposons d'abord que la somme des termes enveloppés par la courbe G„ et des arcs arbitraires tend vers une limite S„, quand ces arcs s'éloignent à l'infini; nous supposons ensuite que la somme S„ tend vers une limite S, quand n augmente à l'infini. Une courbe C,',, étant donnée, traçons une ligne C,„ extérieure à cette courbe; la somme S^,, étant plus petite que S,„ et par conséquent que S, tend vers une limite S' quand n' augmente à l'infini. D'après ce que nous avons dit dans le cas précédent, les deux limites S et S' sont les mêmes.

Enfin, si la courbe C était ouverte comme la courbe C, on prendrait une courbe fermée auxiliaire C". En vertu de ce qui précède, la somme S,",„ tend vers la même limite que la somme S,„, et la somme S,'„, vers la même limite que la somme S^,,. Donc la somme S^, tend vers la môme limite que S,„.

Corollaire. — On évalue ordinairement la somme des termes du tableau, soit par lignes borizontales, soit par colonnes verticales. Supposons que chaque ligne horizontale forme une série convergente; désignons par 5,,, 5|, ^2» • • • > *-o ^-2' • • • les sommes de ces séries linéaires; supposons de plus que la série

formée avec ces différentes sommes, soit convergente; en vertu du théorème précédent, le tableau sera convergent, et l'on obtiendra la même somme si on l'évalue par colonnes verticales. Chaque colonne verticale formera d'abord une série convergente, et si l'on appelle s\^ , s\, s[^,. . . , s'...o s'^, . . . les sommes de ces nouvelles séries linéaires, la série

sera aussi convergente et aura même somme que la série (i).

68. Lemme II. — Lorsqu'une série à double entrée a tous ses termes positifs et inférieurs ou égaux à ceux d'une autre série à termes positifs que l'on sait être convergente, la série proposée est aussi convergente.

Soient S„ la somme des termes du premier tableau enveloppés par une courbe C,,, S), celle des termes enveloppés par la même courbe dans le second tableau; la somme S„ est plus petite que la somme S|, , et par