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La quantité a devant avoir sa partie réelle négative, pour la convergence de la série, il est nécessaire que le rapport — soit imaginaire, et que,

si l'on pose — = r + si, le coefficient s soit positif.

Les relations (3), (4), (6) du Chapitre précédent deviennent

(2) 0(2 + mw') = e " 9(2),

La fonction &{z) est paire; elle admet la période «, et, quand on rem-

place z par 24-w', elle est multipliée par l'exponentielle e~~' '"^' . Elle s'annule pour les valeurs

(4) z = {im'i- i) h (2/n' H- 0 — ■)

que l'on déduit de la formule (7) du n° 72.

74. On peut, à l'aide de cette fonction &{z), former d'autres fonctions holomorphes reprenant la même valeur ou une valeur égale et de signe contraire, quand on remplace s par z -h ui, et jouissant de la

propriété d'être multipliées par l'exponenliclle e " '* ^ "" affectée du signe 4- ou du signe —, quand on remplace z par ^-f &>'. Considérons, en effet, la fonction

Pour que f{z -î w} = ±: <p(^), il est nécessaire que la constante j3 soit de la forme i3 -=; — * b étant un nombre entier. On a

,, (zs + w'm- va — Aw')

pour que l'exponentielle ait la valeur voulue, il faut que la constante 20L — b(^' soit de la forme «&>, a étant un nombre entier; d'où

c( = a- + b~-' En attribuant aux nombres entiers a et b les deux 2 2

valeurs o et i, nous obtiendrons quatre fonctions holomorphes, que nous désignerons par des signes particuliers ; les autres valeurs donneraient les mêmes fonctions multipliées par des facteurs constants. Nous poserons

[ 0,(2):-:; -e<-\ i/QI^H ; j

LES FONCTIONS ELUPTIQUES.

En adoptant la forme (a), on a

— (jn: + n'w')

La forme {h) donne

0,(3) -re — \ {-^i)«e-"L 'J .

Si, dans les séries (6), on groupe deux à deux les termes qui correspondent à des valeurs de n ou de an ^- i égales et de signes contraires,

et si Ton pose q - e'"' , on obtient les séries

0, ( Z ) = I -H 2 > Ç*" ces — ?