I/IT! Z

e{z) := IH- 2 \ ( - I )«g"* CCS 5

Ô,(z)-r2>gV ' /ces- — ,

e,(z) = aV" {- O"-/^'^' sin ^-^^^-^^-H.

Ces dernières formules montrent que les trois fonctions Qz{z), 0{z), Q^iz) sont paires, et que Ot{z) est impaire. D'après les formules (5), qui définissent les fonctions $, et la formule (4), les zéros de ces quatre fonctions sont

zéros de 63(2), z ---= + ( wco + w'o) ),

w' , zéros de 6 (2), z i- (mw -i- m'w'),

zéros de 62(2), z-- — f-(mw h- w'w'), \ zéros de 61(2), z - mw + m'w'.

75. Il résulte des considérations précédentes sur la formation de la fonction (p{z) que l'on a

9,{z-l-rù')::rz -fi - 6»{z),

Q{z +«') = — ^-e''~^eiz),

(II) < ^

j QJz -!-&>')-= -e^^^e^fz), I 9

On a plus généralement, en vertu des formules (7),

/ ïtnr.zi

^ 1(2 H- m&)')=r:(— i)"'ûr-"''e " Q{z),

)i{z + mw' ) r-- q-'"' e " 9»( 2 ),

7Tnr7i

LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iil

Ces dernières formules renferment le facteur

xmszi jnr.i ,

dont le module devient infiniment grand, quand le nombre entier m augmente à l'infini en valeur absolue. On en conclut que les quatre fonctions Q deviennent elles-mêmes infiniment grandes. Des formules (5) et (7) on déduit aussi

et par suite

qJzA-^\ =-0,(2),

Les trois fonctions elliptiques.

76. Il est aisé de reconnaître que les rapports des quatre fonctions Q deux h deux «ont des fonctions méromorphes doublement périodiques. Ces rapporta sont au nombre de douze; mais il suffit de considérer trois d'entre eux, les rapports de trois des fonctions 5 à la quatrième, par

exemple -^■> ^% -^5 les autres seront les réciproques de ceux-là, et leurs

quotients deux a deux. On obtient ainsi les trois fonctions auxquelles on a donné le nom àe fonctions elliptiques, et que nous désignerons par les symboles X, a, v, savoir :

La première fonction est impaire, les deux autres sont paires. Elles deviennent toutes trois infinies pour les valeurs de z qui annulent le dénominateur; chacune d'elles s'annule en même temps que son numérateur. On détermine les constantes A, B, C de manière que X |tx(o) =■ j, v(o) ^- i; il en fésulte

^/ .^JÀo) „ 0(o) ^ 0(0)

Ces trois constantes dépendent de deux rapports; nous poserons et nous aurons

(a). La fonction X. — D'aprës les relations (10), on a

et par suite

1(2 -h 30)) = Ht],

et, d'après les relations (i i),

Ainsi la fonction X(z) admet les deux périodes 2co, w', et l'on a, d'une manière générale,

m et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Nous âppeWerons points homologues les points compris dans la formule z -+- 2mw -f- m'(j>'; par exemple, les points 2moi -f- m'a' sont homologues de l'origine.

Voici comment on peut représenter cette double périodicité. Dans le plan sur lequel est figurée la variable z, marquons, d'une part, les points 2w, 4îJ»..- {Jig- 39); d'autrepart, les points w', 2co',.... Les pre-

miers sont situés sur une droite oa et à égale distance les uns des autres, et de même les seconds sur une droite ob; par les premiers points menons des parallèles à ob, et par les seconds points des parallèîes ào»; c«s deuK séries de parallèles divisent le plan en parallélogrammes égaux, et leurs points d'intersection sont les points 2m o) -h m'o' homologues de l'origine. La double périodicité consiste en ce tfue la fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Les zéros et les infinis de la fonction sont distribués uniformément dans le plan ; nous avons indiqué les zéros par ées points

ronds, les infinis ou les pôles par de petites croix. Il y a deux zéros et

deux infinis dans chaque parallélogramme; par exemple, le parallélo-

Oi- (ù'

içramme oflcè renferme les deux zéros o, œ, et les deux infinis -^ h w.

La fonction impaire X(z) présente une grande analogie avec la fonction sin — > par rapport à la période aw.

[b). La fonction p.. — D'après les relations (lo) et (i i), on a et par suite

jU(2 + 2C0) r : [J.{z)y fl.(z + 01 i- m' ) ^r::. ^[z ).

La fonction admet les deux périodes 2w, « -f w'. Le parallélogramme Oaed {Jig. 4o), relatif à cette seconde fonction, a un côté

Fig. 4o.

commun Oa avec le parallélogramme 0«c6 relatif à la fonction X; l'autre côté Oc? joint l'origine au point w -f- «' situé au milieu de bc. Il y a encore deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par

od 3u

exemple, le parallélogramme Oaed renferme les deux zéros -■> — et

les deux inhnis \- w, h 2co.

La fonction paire /Jt.(z) présente une grande analogie avec la fonction cos-^5 par rapport à la période 2(i).

(c). La/onction v. — Puisque v(z + &i) =v(z), v(zH-a)') = — v(z), et par suite v(z + 220') = v(2), la fonction admet les deux périodes «,

2w'. Le parallélogramme ^fhg {fig. ^i), relatif à cette troisième fonction, a son côtéO/moitiédeOaetsoncôté 0^ double de 06. II y a encore deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par exemple,

le parallélogramme Ofhg renferme les deux zéros

et les deux infinis

Les parallélogrammes Oacb, Oaed, 0/hg,

relatifs aux trois fonctions elliptiques X, p., v, ont des aires égales.

Il n'est pas nécessaire que les parallélogrammes aient leurs côtés rectilignes. En ce qui concerne la fonction X, concevons que les points 0

Fig. 4i.

et a soient joints par une ligne quelconque, et de même les points 0 elb; que l'on remplace tous les côtés parallèles à Oa par des lignes égalés à la ligue Oa, tous les côtés parallèles à 06 par des lignes égales à la ligne 06; nous formerons ainsi un réseau jouissant des mêmes propriétés que le premier.

Relations entre les fonctions elliptiques.

77. Des relations (i 3), (i4)» (i5) entre les fonctions 6, on déduit les relations suivantes entre les fonctions elliptiques :

/T? 6,{z) -iv{z)

^V-^-^)'''^-'\JtqX^)= T l{z)

/ o) + w'\ . /F Q{z) -ik' I

j f' r -^ ~T"j -- Vf eTÛ) - -7- jlû)'

f / W4- 0)'\ . . ,77 0,(2) .,,Mz)

En faisant z = o dans les relations précédentes, on a

Les constantes

(23) 0,(0) = 1 + 2^ç'", 0(o)= I -f- 2^(- iYq"\ 0,(0)=-- 2 y /'"^) ,

dont on obtient les valeurs en faisant z — o dans les séries (8), ne dépendent que de la quantité q ~ e~, et par conséquent du rapport — des périodes. Il en est de même des constantes k et k' définies par les formules (17).

Telles sont les propriétés les plus simples des fonctions elliptiques. Nous compléterons cette étude quand nous aurons établi les théorèmes généraux qui nous sont nécessaires.